函数的概念
河南师大附中 司艳鸽
【教学目标】
一、知识与技能
通过丰富实例，引导学生进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，学习用集合与对应的语言来刻画函数，感悟对应关系在刻画函数概念中的作用，正确理解函数的概念.
二、过程与方法
让学生经历函数概念由特殊到一般的抽象归纳过程，体会运用函数的思想探索现实世界中某些变化的规律，学会运用数学语言进行表达和交流，提高学生的归纳总结能力. 三、情感与态度
学生通过主动探究、合作学习、相互交流，培养刻苦钻研、勇于探索的优秀品质，领会“数学源于实践、服务于实践”的本质.通过体验成功，提高学习数学的兴趣， 树立学好数学的信心，养成锲而不舍的钻研精神和科学态度.
【教学内容】
一、学情分析
在初中，学生已经学习过函数的概念,并且了解函数是变量之间的相互依赖关系.高一学生已初步具备对数学问题的合作探究能力，但是学生分析概括能力、逻辑思维能力尚有不足，这些因素造成了部分学生学习数学兴趣不高，信心不足. 二、地位和作用
函数是中学数学的核心内容，函数的概念在高中数学中，起着承上启下的作用，它是对初中所学概念的完善与深化.在初中，从变量的物理背景入手，用函数表示两个变量之间的依赖关系，而高中，是用集合与对应的语言进一步刻画函数.这是对函数本质特征的再认识，也是学生在函数认识上的一次飞跃. 三、重点难点
重点：用集合与对应的语言刻画函数的概念，正确理解函数的概念. 难点：函数的概念及符号()
y f x =的理解.
【教学过程】
一、准备环节
分发导学案，通过导学案引导学生回顾初中函数的定义及相关知识，并预习新知. 二、学习环节
1.联系生活 引入新课 实例1：
一枚炮弹发射后，经26s 落到地面击中目标，炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面的
高度h (单位: m )随时间t (单位: s )变化的规律是2
1305h t t =-. 实例2：
近几十年来，大气中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题.下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979~2001年的变化情况：
510S /106k m 2
t /年
实例3：
国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明，“八五”计划以来我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.
于生活”的本质，体现数学的应用性.同时这三个例子用三种不同的方法来表示函数，也为下一节课的学习做好铺垫.
2.自主探究 合作交流
⑴以上三个实例中，每个实例都涉及到了几个变化的量？ ⑵每个实例中变量的取值集合分别是什么？
⑶归纳以上三个实例，变量之间的关系有什么共同特点？
设计意图：用集合与对应的语言描述两个变量之间的关系，进而概括出函数的概念.
函数的概念：
设A 、B 是非空数集，如果按照某种对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：()y f x =，x A ∈.
解读：
⑴A 、B 均是非空数集;
⑵对于集合A 中的任意一个数,集合B 中都有唯一确定的数和它对应;
⑶由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，三者缺一不可; ⑷若函数的值域记作集合C ，则集合C 是集合B 的子集. 设计意图：进一步加深对函数概念的理解.
理解.
3.联合对抗 巅峰对决
设计意图：为了延伸课堂教学，巩固提升所学知识，充分调动学生学习的积极性和主动性，彰显新课改的理念，将学生分成北斗七星小组，小组交流，小组协作，代表展示，采用必答和抢答的形式，设计了以下两个环节.
【联合对抗】
是
不是是
-{}2(1){|0}:||(2):(3)11{0}:0.A R B x x f x y x A Z B Z f x y x A x x B f x y ==>→===→==≤≤=→=，，；，，；，，下列对应是否为从集合到集合的一个函数？
B A 分析：判断一个对应关系是否是函数要从以下几个
方面去判断：
①、是否都是非空数集；
②中任一元素在中是否有元素和它对应；
③中任一元素在.
A B A B A B 212434
31x ()f x 12434321x ()g x 已知集合，设都是从集合到
集合的函数，其对应关系如下表：()f x g x 、A A 则与的值相等的是（）
()().1A g f ()().2B g f ()().3C g f ()().4D g f
A {1234A =，，，()()1f g 设集合
，给
出四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是（）{}{}0202M x x N y y
=≤≤=≤≤，M N C
B ③④⑧下列图形中可作为函数图象的是_________
①③
的值；
⎫
⎝已知函数，⑴求函数的定义域；
⑵求⑶当时，求的值.
()2
f x x +()233f f ⎛- ⎪⎭
，0a >()()1f a f a -，⑵()31f -=-；23
38
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
⑶()12f a a +；()11.
1
f a a -+已知a 且，则的
值为_________________.
()21f x x =-()
2
543f a --=a x a 分析：
()()()22221
542541356016
f x f a a a a a a =-∴--=---=∴--=∴=-或16-或 x 下列函数中哪个函数与函数
相等？
()()()()2
21 2 34y y x
y y ==；；y x =不相等不相等相等
不相等
设计意图：从函数的定义域、对应关系、值域等方面对函数的概念进行了考查，强化函数的概念，正确理解函数概念的本质内涵.
【巅峰对决】
3.
已知函数的定义域为，在同一坐
标系下，函数的图象与直线的交点个
数为______;
()f x {}15x x -≤≤()y f x =2x =11.求下列函数的定义域:
⑴;
()1
47f x x =+x ⑵.
()1f =-74x x ⎧⎫≠-⎨⎬
⎩
⎭{}
31x x -≤≤⑵求的值.
()()()()f a f a f a f a -+-，，22--解：⑴()()()()2822820f f f f ==-+=，，()()()()3332320
f a a a f a a a f a f a =+-=---+=，，⑵x 2.已知函数，
⑴求的值；
()332f x x =+()()()()2222f f f f -+-，，
三、反思环节
1.通过课堂小结，培养了学生的归纳概括能力，实现教与学的同步.
2.推荐作业：巩固知识、提高能力和拓展视野.
设计意图：巩固所学内容并进行自我检验与评价，作业的布置既面向全体学生，又实现了分层教学.
【教学资源】
利用多媒体辅助教学已经成为现代教育的一个重要内容.为了充分调动学生学习的积极性和主动性，引发学生学习的兴趣，创设生动活泼的教学氛围，本节课将采用PPT 课件作为多媒体辅助教学手段.从而实现高效课堂，有效教学.
【教学效果】
整个教学过程，实现了学生积极参与的主体作用和教师引导探索的主导作用.通过学生直观感知，分组探究，交流展示，互评互学，从而实现高效课堂，有效教学.这既体现了新课程的教学理念，又保证了学生在轻松愉快的氛围中掌握了本节课的知识.。