Mk GI d
曲率
１ M (形式类似弯曲： ＝ ) EI
Mｋ 代入 u ( z ) 表达式，则纵向位移： 将 t ， s ds s u( z) u0 ( z) ( z ) ( z ) ds
ds t
s 0
t
0
u 0 ( z ) ( z )[ ds
( s ) ds
0
s
s
ds
0

/
ds

薄壁箱梁的约束扭转
（1） 基本假定
众所周知，乌曼斯基闭口薄壁直杆约束扭转理论应用以下三个基 本假定： ①横截面的周边不变形； ②横截面上法向应力和剪应力沿壁厚是均匀分布的； ③横截面上纵向位移沿本截面的分布规律与自由扭转时是相同的
令纵向位移为 u ( z , s ) ， z 表示沿跨径， 当闭口截面只发生自由扭转时，有
E w ( Z S ) 2 1
Mk
E dz w E ( z) 2 1 ds u（z） M A u( z) vM u ( z ) ( z ) Z u0 y z s ( z ) ( z ) ] w E[u0 (3 24) ( z )是未定的，我们可以利用平衡条件来消去它，因为箱梁 上式中 u 0 截面上只有扭矩 M k ，其引起翘曲正应力 w 自相平衡，既正应力
s s
q
ds
（阴影部分 ，ds为三角形底边， 为高， 1 ds 为三角形面 2 积） Mk q （ 为周边所围面积的2倍）
qMk t
2. 扭矩M k 、扭率 和纵向位移 u 的关 Mk 系 我们假设 z 为梁 轴方向， u 为纵 向位移，v 为箱 dz 边 s 切线方向的 ds 位移：
o
( z)
Mk
dz

z
u（ 0 z） u( z)
ds
A
扇性坐标的一次矩，类似 xdA ）
xdA 扇性惯性积（类似 ydA
vM
M0
1
s
y
x ydA
0

u 0 ( z ) ( z )
ds 0 t ] ds t
s
(3 18)
s
式中：
ds
0

ds 0 t （称为广义扇性坐标） ds Mk t
s
Mk
与开口扇性坐标相比多 了因为截面闭合产生的 第二项，广义扇性坐标 都是用于闭口截面。
z
dz
( s ) 0 t dt
承受偏心荷载的薄壁箱梁，将产生扭矩，此扭矩可分解为刚性扭 转和畸变力
薄壁箱梁的自由扭转简介
单箱单室箱梁
众所周知，在剪应力沿箱壁均匀分布的假定下，单室箱梁自由扭 转时下列两式成立
Mk q
扭 率
Mk GI d
称为Bredt第一公式，即箱 梁薄壁中线所包围的面积
自由扭转只产生自由扭转剪应力 k
w 约束扭转产生约束扭转剪应力 w 、约束扭转翘曲正应力
箱梁分析
4.畸变 畸变（即受扭时截面周边变形）的主要变形特征是畸变角 。 薄壁宽箱的矩形截面受扭变形后，无法保持截面的投影仍为矩形。 畸变产生翘曲正应力和畸变剪应力，同时由于畸变而引起箱形截面 各板横向弯曲，在板内产生横向弯曲应力。
将式（3-24）代入得：
u 0 ( z ) A ( z ) dA 0 ( z ) xdA ( z ) xdA 0 (3 26) u 0 u ( z ) ydA ( z ) ydA 0 0 式中 ： dA为扇性静矩（面积对
扭转刚度，称为Bredt第二 公式，自由扭转惯矩 I d 2 / ds
的两倍
ds
扭率与剪切变形的关系为
( s ) d s
1. 剪力流和扭矩的关系剪力流在整个断面上的合力形成扭矩，即内 外扭矩平衡方程，得：
M k q ds q ds
M1
( z) u0
u ( )
M k ds u 0 ( z) u 0 ( z) ( z ) G s t
ds ( z ) s G t 2 如令 I (称为抗扭惯性矩） （3 5） d ds s t （同《桥工》计算截面抗扭惯性矩）
上式可写成：
二、偏心荷载作用下的截面应力 1.横向弯曲 箱形梁承受偏心荷载作用，除了按弯扭杆件进行整体分析 外，还应考虑局部荷载的影响。车辆荷载作用于顶板，除直 接受荷载部分产生横向弯曲外，由于整个截面形成超静定结 构，因而引起其它各部分产生横向弯曲，
0t 横向弯曲应力
（按超静定框架计算求得）
2.纵向弯曲 纵向弯曲产生竖向变位。 产生“剪力滞效应”
( z )
Mk GI d
x
ds
A
M0
M1
( z) u0
u ( )
纵向位移
箱梁自由扭转的纵向位移为
u( z, s) u0 ( z, s) u0 ( z,0) (s) ( z)
s 0 处的纵向位移
称广义扇性坐 标，其意义见 后
且 u0 ( z,0), ( z ) u ( z , s ) 均沿梁纵向是常数，梁纵向纤维无伸缩应变，不产生正应力
s 表示沿横截面周边。
u( z, s) u0 ( z,0) (s) ( z)
根据基本假定③，闭口截面约束扭转轴向位移为
u( z, s) u0 ( z,0) (s) ( z)
表示截面翘曲程度的某个函数，它 与扭转角 ( z ) 有一定的关系
箱形梁的约束扭转 一、约束扭转计算理论 箱梁的约束扭转计算理论是以下面假设建立的： 1.箱梁扭转时，周边假设不变 形（否则为畸变），切线 方向的位移 v ( z )
u 0 ( z ) ——初始纵向位移，为一积分常数； ( z ) ——表示截面凹凸程度（翘曲程度）的某个函数
( z ) ( z（扭率）为乌曼斯基第一理论（有些时候，误差较大） ) ( z )是一个待定函数，为乌曼斯基第二理论（按此计算）
二、约束扭转正应力 利用弹性力学中平面应力问题中应力与应变之间的关系式：
M1
M 另外将 k 代入则 t M k s ds u( z) u 0 ( z) ( z ) G 0 t
Mk
Mk
z
dz
因为箱梁为闭口截面，引 入封闭条件，对上式积分 一周，如果积分的始点和 终点为同一点 u 0 ，得 所以： M k
x
ds
A
M0
v ( z ) z
dz
Mk

o
( z)
z
u（ 0 z） u( z)
ds
A
2.箱壁上的剪应力与正应 y s 力沿壁厚方向均匀分布 3.约束扭转时，沿梁轴方向的纵向位移（既截面的凹凸）假设同自 由扭转时纵向位移的关系式存在相似变化规律，既
1
vM
M0
u( z ) u 0 ( z ) ( z )
x
Mk
z

M0 M1
( z)
u0 u ( )
Mk
Mk
z
dz
x
ds
A
M0
M1
( z) u0
u ( )
为扭率，扭转角沿轴线（纵向）方向变化率，由 其中：
知 为常数，如为等直圆杆 u 0
z (纵向)
dz

Mk GI d
微单元 A 的剪切变形为
薄壁箱梁的扭转理论



薄壁箱梁的自由扭转简介 薄壁箱梁的约束扭转 扭转中心位置 等截面连续梁扭转的三翘曲双力矩方程 有限差分方程建立及分析 小 结 本章参考文献
一、偏心荷载作用下的变形和位移 作用在箱形梁上的重要荷载是恒载与活载。恒载 通常是对称作用的，活载可以是对称作用，也可以是 非对称偏心作用，必须分别加以考虑。偏心荷载作用， 使箱形梁既产生对称弯曲又产生扭转，因此，作用于 箱形梁的外力可综合表达为偏心荷载来进行结构分析。 在偏心荷载作用下箱梁的四种基本状态： 1． 纵向弯曲 2． 横向弯曲 3． 扭转（自由扭转和约束扭转） 4． 扭转变形（畸变）
0
因为假设周边不变形，切线 方向的应变为零，既 S 0
o
z
0
1
总和为零（有拉伸就有压缩），这些力对 x, y 轴弯矩总和也是零， N w dA 0 因而有：
M x w ydA 0 M y w xdA 0 (3 25)
dw 扭转变形（畸变）产生畸变剪应力 dw 、畸变翘曲正应力 dt 、横向弯曲应力
综上所述，四种变形合位移引起的应力状态： 在横截面上：纵向正应力 剪应力
( Z ) M w dw
M k w dw
在箱梁各板内即纵截面上： 横向弯曲应力
纵向弯曲产生纵向弯曲正应力 M
M 、弯曲剪应力
箱梁分析
3.箱形梁的扭转
箱形梁的扭转（这里指刚性扭转，即受扭时箱形的周边不变形） 变形主要特征是扭转角 。箱形梁受扭时分自由扭转与约束扭转。 自由扭转，即箱形梁受扭时，截面各纤维的纵向变形是自由的， 杆件端面虽出现凹凸，但纵向纤维无伸长缩短，自由翘曲，因而不产 生纵向正应力，只产生自由扭转剪应力。 约束扭转，当箱梁受扭时纵向纤维变形不自由，受到拉伸或压缩， 截面不能自由翘曲。约束扭转在截面上产生翘曲正应力和约束扭转剪 应力。 产生约束扭转的原因有：支承条件的约束，如固端支承约束纵向 纤维变形；受扭时截面形状及其沿梁纵向的变化，使截面各点纤维变 形不协调也将产生约束扭转，如等厚壁的矩形箱梁、变截面梁等，即 使不受支承约束，也将产生约束扭转。