可以求得a/z与竖向附加应 可以求得a/z与竖向附加应
α0 a/z
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.268
0.400
0.518
0.637
0.766
0.918
1.110
1.387
1.908
∞
纽马克感应图由9个同心圆和20条通过圆心均匀分布的放射线 纽马克感应图由9个同心圆和20条通过圆心均匀分布的放射线 组成，如下图所示。 根据上表中的数据，这9 根据上表中的数据，这9个 同心圆的半径a 同心圆的半径ai（i=1,2,3 …,9）分别为：a1=0.268z， ,9）分别为：a =0.268z， a2=0.400z，a3=0.518z… =0.400z， =0.518z… 则由第一个圆（半径为a 则由第一个圆（半径为a1） 上的均布荷载在圆心O点下
或查表3 或查表3－2可得αgi，则第i单元上的集中力Qi在M点引起的竖 可得α ，则第i单元上的集中力Q 向附加应力为
根据叠加原理，可得M点总的竖向附加应力为
等代荷载法是一种近似计算方法，其计算精度取决于单元划 分的多少。单元划分的数目越多，每个单元面积就越小，其 计算精度就越高。 利用此方法计算时，可根据具体工程问题编写计算机程序， 利用计算机计算以提高计算精度。 另外，等代荷载法虽然是一种近似计算方法，但其适用范围 十分广泛，对于任意面积、任意分布荷载均适用。
令
称为均布圆形荷载中心点下 的竖向附加应力系数
则σz=α0p0 式中：z——计算点至地表的垂直深度； 式中：z——计算点至地表的垂直深度； α ——圆形基底的半径。 ——圆形基底的半径。
八、圆形基底在三角形分布垂直荷载作用下地基中的附加应力
对于圆周上压力为零 的点（点1）下z 的点（点1）下z深度 （点M ）处的σ （点M1）处的σz(1)， 可由下式求得，即
（2）在图纸上，按所选定的比例尺，分别以半径a1=0.268z， ）在图纸上，按所选定的比例尺，分别以半径a =0.268z， a2=0.400z,a3=0.518z ，……画出9个同心圆，并通过圆心O ……画出9 再画20根均布射线，制成纽马克感应图； 再画20根均布射线，制成纽马克感应图； （3）在透明纸上，按上述相同的比例尺，绘出建筑物基础基底 平面图； （4）将该透明纸盖在感应图上，使待求点D对准感应图的圆心， 数出基底平面所包含的感应面积的个数N，非整块凭肉眼估算， 则可按上式估算出待求点的竖向附加应力。 从上述的分析可以看出，纽马克感应图法是一种近似计算方 法，只适用于基底附加压力均匀分布的情况。
首先假定P 首先假定PG有大小的均布荷载作用在整个矩形面积上，则不 难用角点法求出G点下的竖向附加应力。在小块面积Ⅰ及Ⅱ上 点下的竖向附加应力。在小块面积Ⅰ 又作用着EFJ三角形分布荷载，这时G点位于荷载强度为零的 角点上，附加应力可求。在小块面积Ⅲ 角点上，附加应力可求。在小块面积Ⅲ及Ⅳ上，还作用着负 的三角形分布荷载FIH，附加应力可求。则
Z深度处所引起的竖向附加
应力为0.1p 应力为0.1p0；
第二个圆（半径为a ）上的均布荷载p 第二个圆（半径为a2）上的均布荷载p0在同一点引起的竖向 附加应力为0.2p 附加应力为0.2p0；依此类推，荷载面积每扩大到另一个圆的 边界，在圆心O点下Z深度处所引起的竖向附加应力便增加 0.1p0，即每个环形面积上的均布荷载在圆心O点下Z深度处所 再划20根均布射 引起的竖向附加应力均为0.1p 引起的竖向附加应力均为0.1p0 。通过圆心O再划20根均布射 线，把每个环形面积划分为20个面积相等的小块，即感应面 线，把每个环形面积划分为20个面积相等的小块，即感应面 积。显然，每小块感应面积上的均布荷载在圆心O点下Z深度 处所引起的竖向附加应力为0.1p 处所引起的竖向附加应力为0.1p0 /20=0.005 p0 。
式中： σsy(2)——三角形分布圆形荷载作用下圆周上最大压力 ——三角形分布圆形荷载作用下圆周上最大压力 值点下的竖向附加应力系数，查P73表3－14。 值点下的竖向附加应力系数，查P73表 14。
九、不规则面积上均布荷载作用下地基中的附加应力
1．纽马克感应图的原理
由式 力系数α 力系数α0的关系，如下表所示。
§4.5 其他条件下地基中应力的计算（自学） 其他条件下地基中应力的计算（自学）
作
业：P87：第12题、第13题 业：P87：第12题、第13题
水塔、烟窗等圆形构筑物的基础，其基底通常为圆形，在中 心荷载作用下，基底附加压力简化为均匀分布。 设有一圆形基底，半径为a，如下图所示，其上作用均布荷载， 并将柱坐标的原点放在圆心位置。
Boussinesq解为： Boussinesq解为：
在基底面积上取微面积单元dA=rdrdφ，其上的分布荷载用一 在基底面积上取微面积单元dA=rdrdφ，其上的分布荷载用一 集中力dQ=p rdrdφ来代替， 集中力dQ=p0rdrdφ来代替， 并以 代入上式，则该集中力
《土力学》教案 土力学》
课 次：第7 次：第7次
主要内容：地基附加应力的计算 重点内容： 重点内容：角点法；纽马克感应图；等代荷载法 教学方法：逻辑推理式与互动式
六、矩形基底在三角形分布垂直荷载作用下地基中的附加应力
这种荷载分布通常出现在基础受单向偏心荷载作用的情况下， 基底附加压力一般呈梯形分布。此时，可将梯形分布的荷载分 解成矩形荷载和三角形荷载，并利用叠加原理进行计算。 均布矩形荷载作用下地基中附加应力的计算如上所述，下面讲 三角形荷载作用下的附加应力计算。 基底尺寸及荷载分布如下图所示，坐标原点取三角形荷载Pt=0 基底尺寸及荷载分布如下图所示，坐标原点取三角形荷载Pt=0 的角点。
在任意点M(l, φ,z)处引起的竖向附加应力为 在任意点M(l, φ,z)处引起的竖向附加应力为
则
式中：α ——均布圆形荷载任意点下竖向附 式中：αy——均布圆形荷载任意点下竖向附 加应力系数，查P71表 加应力系数，查P71表3－12。 12。 α——圆形基底的半径； ——圆形基底的半径； l——计算点到原点的水平距离。 ——计算点到原点的水平距离。 特别地，对于圆心下（l=0）深度处有 特别地，对于圆心下（l=0）深度处有
若求某不规则面积在均布荷载p 若求某不规则面积在均布荷载p0作用下任意点D深度Z处的附 加应力，应先将该不规则面积按相同的比例尺画出，然后将 该点移至感应图的中心，并数出感应面积的个数N（非整块数 目可凭肉眼估计），则所求点处的竖向附加应力为 σz=0.005p0N 式中：N——感应面积的个数； 式中：N——感应面积的个数； P0——均布荷载强度。 ——均布荷载强度。 2．纽马克感应图的用法 应用纽马克感应图时，具体步骤如下： （1）选定比例尺；
式中：p ——三角形分布垂直荷载的最大值， 式中：pt——三角形分布垂直荷载的最大值， kPa； kPa； αsy(1) ——三角形分布圆形荷载作用下圆周上压力为零 ——三角形分布圆形荷载作用下圆周上压力为零 点下的竖向附加应力系数，查P73表 点下的竖向附加应力系数，查P73表3－14。 14。 对于圆周上压力为p 的点（点2）下深度（点M ）处的σ 对于圆周上压力为pt的点（点2）下深度（点M2）处的σz(2)的 计算，也有类似的关系式，即
十、等代荷载法
集中荷载下
其中
等代荷载法的原理是将荷载面积分成许多小块（称为单元）， 将每个单元上的分布荷载近似地用一个作用在单元形心上的集 中力来代替，再利用Boussinesq解及叠加原理求出地基中的σ 中力来代替，再利用Boussinesq解及叠加原理求出地基中的σz，
如下图所示。 对于第i 对于第i单元，其上作用的分布 荷载用一集中力Q 荷载用一集中力Qi代替，并确 定第i 定第i单元面积中心到M点的水 平距离r 。根据r /z的值，按式 平距离ri。根据ri/z的值，按式
式中：σ` ——均布矩形荷载作用下 式中：σ`z——均布矩形荷载作用下G点的竖向附加应力； σz(fFIH)——Ⅲ、Ⅳ两块面积在三角形荷载（FIH）作用下G点 ——Ⅲ 的竖向附加应力； σz(fEJF)——Ⅰ、Ⅱ两块面积在三角形荷载（EJF）作用下G点的 ——Ⅰ 竖向附加应力。

七、均布圆形荷载作用下地基中的附加应力
在基底面积上取微面积单元dA=dxdy，其上的分布荷载用一 在基底面积上取微面积单元dA=dxdy，其上的分布荷载用一 集中力来代替，则该集中力 在角点下M点处引起 的竖向附加应力为
则
式中：α ——三角形分布矩形荷载零边角点下竖向附加应力 式中：αsc——三角形分布矩形荷载零边角点下竖向附加应力 系数，查P68表 系数，查P68表3－9。 n`=l/b
m=z/b；
应特别指出的是，公式（3 35）计算的附加应力是荷载强度 应特别指出的是，公式（3－35）计算的附加应力是荷载强度 为零的角点下某一深度z处的竖向附加应力，若需要计算荷载 强度为P 强度为Pt的角点下的竖向附加应力，则可利用应力叠加原理来 计算，如下图所示。
对于求三角形分布荷载下任意点附加应力的计算，仍可采用 角点法。 如下图所示，若计算矩形受荷面积内G点下的附加应力，可通 点把矩形受荷面积划分为4个小块组成的面积（Ⅰ 过G点把矩形受荷面积划分为4个小块组成的面积（Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、Ⅳ）。由于荷载是三角形分布的，故先计算G点的荷载强 度，即