第四章 1． 取=100、=121用线性插值时，10.7143； 取=100、=121、=144用二次插值时，10.7228。
2．选取插值节点为：=1.4、=1.5、=1.6，1.9447。
3．利用，并注意 当时，对，，故有
而时，，故有 ，
4. ==
5. 用反插值法得根的近似值=0.7092；
6. 令 可求得0.2498（或0.2289）。
2. 解：（1）左矩形公式
第六章
将f(x)在a处展开，得 两边在[a,b]上积分，得 由于（x-a）在[a,b]上不变号，故有，使 从而有 （2）右矩形公式 将f(x)在b处展开，并积分，得 （3）中矩形公式 将f(x)在处展开，得 两边在[a,b]上积分，得
3. 解：（1）求积公式中含有三个待定参数A-1、A0、A1，故令求积公式 对f(x)=1、x、x2准确成立，即 解得 A-1=A1=h/3, A0=4h/3 显然所求的求积公式（事实上为辛浦生公式）至少具有两次代数精确 度。又有 故 具有三次代数精确度。 （2）求积公式中含有两个待定参数x1、x2，当f(x)=1时，有 故令求积公式对x、x2准确成立，即： 解得， 显然 当求积节点取x1=0.68990，x2=-0.12660或x1=-0.28990，x2=0.52660时， 求积公式具有两次代数精确度。 （3）求积公式中含有一个待定参数α，当f(x)=1、x 时，有 故令求积公式对f(x)=x2成立，即： 得 α=1/12。 显然： 故具有三次代数精确度。
4. 解：函数值表格
x 1 7/6
8/6
9/6
10/6 11/6
2
f(x) 0 0.15415 0.28768 0.40547 0.51083 0.60614 0.69315
T6=1/2×1/6[0+2×(0.15415+0.28768+0.40547+0.51083+0.60614)+0.69315]≈0.38514 S3=1/6×1/3[0+4×(0.15415+0.40547+0.60614)+2×(0.28768+0.51083)+0.69315]≈0.38629
欧拉预-校法
3. 计算结果如下： （8.32）的
0.1 0.2 0.3
（8.34）的
4．计算结果如下： 四阶R-K解
（8.37）的
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
5．参照欧拉预-校格式的证明。 6. 对在，，处进行Lagrange插值，得插值多项式， 然后在区间上积分，
即可得到所要结果。 7. ，，，。
2
0.46559
0.005
3
0.46557
0.00002
根的近似值为0.4656。 6．
证明：
当时，当时，
因此，对于，当时，，牛顿迭代法收敛，当时，
，从起，牛顿序列收敛到。
第三章 1． x1=2，x2=1，x3=1/2 2． 3． L = ， U =
y1 =14, y2 = 10, y3 = 72 x1 =1, x2 =2, x3 =3 4. x1≈-4.00, x2≈3.00, x3≈2.00 5. B的特征值为：0，0，0，ρ(B)=0<1 (E－B1)-1B2的特征值为：0，2，2，ρ[(E－B1)-1B2]=2>1. 6. x(5)=(0.4999, 1.0004, -0.4997)T 7.∣a∣>2
4．设有位有效数字，由2.4494……，知的第一位有效数字=2。 令 可求得满足上述不等式的最小正整数=4，即至少取四位有效数字，故
满足精度要求可取2.449。
5. 答：（1） ()的相对误差约是的相对误差的1/2倍； （2） 的相对误差约是的相对误差的倍。
6． 根据 =
注意当时，，即。 则有
7．设，， 由，
即当有初始误差时，的绝对误差的绝对值将减小倍。而，故计算过程稳 定。
8. 变形后的表达式为： （1）= （2）= （3） （4）==
1．绝对误差限, 对分8次
n
隔根区间
第二章
1
[1.5，2.5]
2.0
2
[2.0，2.5]
2.25
3
[2.25，2.5]
2.375
4
[2.25，2.375]
2.3125
5 [2.25，2.3125] 2.28125
5. 解：
令，得N≥2.54. 取N=3,则至少要取2N+1=7个节点处的函数值。
6. 解：按照事后误差估计公式 计算列表如下：
等
k分 2k
0 1 0.92073549
1 2 0.93979328
0.94614588
2 4 0.94451352 0.00157341 0.94608693 0.00000393<10-5
数值计算方法简明教程
第一章 1 =1.7； =1.73； =1.732 。
2． 有效数字 的位数
1
四位
2
三位
3
四位
4
四位
5
六位
注：本题答案中相对误差限是用定义所求得的结果，也可以用相对误差 限与有效数字的关系求得。
3． （1） 0.00050； （注意：应该用相对误差的定义去求） （2） 0.50517； （3） 0.50002。
6 [2.28125，2.3125] 2.296875
7 [2.296875，2.3125] 2.3046875
8
[2.296875， 2.30078125
2.3046875]
满足精度要求的根近似值为2.30。
的符号 + + +
2． (1) 隔根区间[0, 0.8]； (2) 等价变形 ； 迭代公式。 (3) 收敛性论证：用局部收敛性定理论证。 (4) 迭代计算：
7. 解：采用极坐标系，令x=2cos，y=sin，则椭圆的周长为
由于，因此I有一个整数，故要求结果有四位有效数字，需截断误差 ≤1/2×10-3。列表计算如下：
k 等分2k
01 12 24 38 4 16
2．356194 2．419921 2．422103 2．422112 2．422112
2．441163 2．422830 2．422115 2．422112
详解： 由题义知，所采用的是三点等距插值，由误差公式： 令 由 得： 得 的驻点为：
故， 所 = ，
2． 正规方程组为 = ，
3． 取对数
相应的正规方程组为 = ，
4．正规方程组为 = ，
第五章
1. 解：运用梯形公式： 误差： 运用辛浦生公式： 误差：
3.5615
6
3.5615
相应近似特征向量为 = 2258 ， 1268 ， 2258 ） ，（ ）
3 8 0.94569086 0.00039245<10-3 0.94608331 0.00000024
因此，由梯形公式得I≈T8=0.94569086,精确到10-3；由辛浦生公式得到 I≈S2=0.94608693，精确到10-5。若取I≈S4=0.94608331，则精确到10-6。 精确到10-3的结果为 I≈0.946.
0
0.4
1
0.4700
2
0.4253
3
0.4541
4
0.4356
5
0.4475
6
0.4399
7
0.4448
8
0.4416
9
0.4436
10
0.4423
11
0.4432
满足要求的近似根为0.443。
3． (1) ； (2) ； (3) ；
4． 牛顿迭代公式为： 列表计算
n
0
0.4
1
0.47013
0.07
第八章 1.
u=u
0
(1 , 1 , 1)
4.0000
1
(4 , 2 , 4)
3.5000
2
( 14 , 8 , 14 )
3.5714
3 4
( 50 , 28 , 50 ) ( 178 , 100 , 178 ) ( 634 , 356 , 634 )
3.5600 3.5618
5
( 2258 , 1268 , 2258 )
故取I=2.422113，周长为l =4I=9.688。
2．421608 2．422067 2．422112
2．422074 2．422113
8.（1）：取h=0.1，三点公式取，得 （2）：取h=0.2， 三点公式取，得 注：精确解为。
第七章
1. 计算结果为：
2. 计算结果如下： 梯形法
0.1 0.2 0.3