高考数学压轴题常考题型 20 组类型1二次函数2复合函数3创新性函数4抽象函数5导函数（极值，单调区间）--不等式6函数在实际中的应用7函数与数列综合8数列的概念和性质9Sn与an的关系10创新型数列11数列与不等式12数列与解析几何13椭圆14双曲线15抛物线16解析几何中的参数范围问题17解析几何中的最值问题18解析几何中的定值问题19解析几何与向量20探究性问题1.二次函数1. 对于函数2()(1)2(0)f x ax b x b a =+++-≠，若存在实数0x ，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点．（1）当2,2a b ==-时，求()f x 的不动点；（2）若对于任何实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围；（3）在(2)的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且直线2121y kx a =++是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围．分析 本题考查二次函数的性质、直线等基础知识，及综合分析问题的能力函数与方程思想解：2()(1)2(0)f x ax b x b a =+++-≠， （1）当2,2a b ==-时，2()24f x x x =--． 设x 为其不动点，即224x x x --=，则22240x x --=．所以121,2x x =-=，即()f x 的不动点是1,2-. （2）由()f x x =得220ax bx b ++-=.由已知，此方程有相异二实根，所以24(2)0a b a b ∆=-->，即2480b ab a -+>对任意b R ∈恒成立． 20,16320b a a ∴∆<∴-<，02a ∴<<．（3）设1122(,),(,)A x yB x y ，直线2121y kx a =++是线段AB 的垂直平分线，1k ∴=-．记AB 的中点00(,)M x x ，由(2)知02b x a =-．212()20,b f x x ax bx b x x a =⇔++-=∴+=-M 在2121y kx a =++上，212221b b a a a ∴-=++化简得：2112142=-=-≥=++a b a a a，当2a =时，等号成立．即,44b b ⎡⎫≥-∴∈-+∞⎪⎢⎪⎣⎭例2 已知函数()242f x ax x =+-，若对任意1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭．（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）对于给定的实数a ，有一个最小的负数()M a ，使得(),0x M a ∈⎡⎤⎣⎦时，()44f x -≤≤都成立，则当a 为何值时，()M a 最小，并求出()M a 的最小值．解：（Ⅰ）∵()()121222f x f x x x f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭22212121122222x x x x ax bx c ax bx c a b c +++++++⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21204a x x =--<，∵12x x ≠，∴0a >．∴实数a 的取值范围为()0,+∞．（Ⅱ）∵()2224422f x ax x a x a a ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，显然()02f =-，对称轴20x a =-<。
（1）当424a --<-，即02a <<时，()2,0M a a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()4f M a =-⎡⎤⎣⎦． 令2424ax x +-=-，解得2x a -=，此时()M a 取较大的根，即()2M a a -+==，∵02a <<，∴()1M a =>-．（2）当424a --≥-，即2a ≥时，()2M a a <-，且()4f M a =⎡⎤⎣⎦． 令2424ax x +-=，解得x =，此时()M a 取较小的根，即()2M a a -==，∵2a ≥，∴()3M a =≥-． 当且仅当2a =时，取等号．∵31-<-，∴当2a =时，()M a 取得最小值－3．2 复合函数1．已知函数()f x 满足()()12log 1a a f x x x a -=--，其中0>a ，且1≠a 。
（1）对于函数()f x ，当()1,1x ∈-时，()()2110f m f m -+-<，求实数m 的取值范围；（2）当(),2x ∈-∞时，()4f x -的取值范围恰为(),0-∞，求a 的取值范围。
解：0)((1)(log 12>--=-a x x a a x f a 且)1≠a设xt a log =，则ta x = ∴)(1)(2t t a a a a t f ---=∴ )(1)(2xx a a a a x f ---=当)1,0(∈a 时，∵ 012<-a ax a ↓ x a -↑ ∴ )(x f y =在其定义域上↑ 当),1(+∞∈a 时，∵ 012>-a a，x a ↑，x a -↓ ∴ )(x f y =在其定义域上↑∴ 0>∀a 且1≠a ，都有)(x f y =为其定义域上的增函数又∵)()(1)(2x f a a a ax f x x -=--=-- ∴ )(x f 为奇函数（1）∵ 当)1,1(-∈x 时，0)1()1(2<-+-m f m f ∴)1()1()1(22-=--<-m f m f m f ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-<-<<⇒<-<-<-<-112111111122m m m m m（2）当)2,(-∞∈x 时，∵ 4)()(-=x f x F 在)2,(-∞上↑，且值域为)0,(-∞∴ 04)2()2(=-=f F4)1(1222=-⋅-a a a a 411242=-⋅-a a a a a a 412=+ ∴ 32±=a例 2. 函数()f x 是()21101x y x R =-∈+的反函数，()g x 的图象与函数431x y x -=-的图象关于直线1-=x y 成轴对称图形，记()()()F x f x g x =+。
（1）求()F x 的解析式及其定义域；（2）试问()F x 的图象上是否存在两个不同的点A 、B ，使直线AB恰好与y 轴垂直？若存在，求出A 、B 的坐标；若不存在，说明理由。
解：（1）11102-+=x y 12110+=+y x y y x +-=1110 y y x +-=11lg ∴ )11(11lg )(<<-+-=x x x x f∵ )(x g 的图象与134--=x xy 的图象关于直线1-=x y 成轴对称图形∴ 1)(+x g 的图象与1231134--=+--=x xx x y 的图象关于直线x y =对称即：1)(+x g 是123--=x xy 的反函数 x y xy 23-=-3)2(+=+y x y23++=y y x ∴ 231)(++=+x x x g ∴21)(+=x x g∴)11(2111lg)()()(<<-+++-=+=x x x x x g x f x F（2）假设在)(x F 的图象上存在不同的两点A 、B 使得y l AB ⊥轴，即R c ∈∃使得方程c x x x =+++-2111lg有两不等实根设12111++-=+-=x x x t ，则t 在（1-，1）上↓且0>t ∴t t x +-=11，3121++=+t t x ∴ R c ∈∃使得方程ct t t =+++31lg 有两不等正根32)1(31lg ++-=++-=t c t t c t设)lg()(t t h =，32)1()(++-=t c t ϕ由函数图象可知：R c ∈∀，方程32)1(lg ++-=t c t 仅有唯一正根∴ 不存在点A 、B 符合题意。
3. 设R a ∈且e a ,0≠为自然对数的底数，函数f （ x ）.2)(,12x x e x a x g x e =--=（1）求证：当1≥a 时，)()(x g x f ≤对一切非负实数x 恒成立； （2）对于（0，1）内的任意常数a ，是否存在与a 有关的正常数0x ，使得)()(00x g x f >成立？如果存在，求出一个符合条件的x ；否则说明理由.分析：本题主要考查函数的单调性，导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．分类讨论、化归（转化）思想方法解：（1）当,121)()(,02x e x x a x g x f x ++≤⇔≤≥时令)1()(12)(2x x e a x x h e x x a x h -='⇒++=0,1≥≥x a ),0[)(,0)(+∞⇒≥'∴在x h x h 上单调递增，)()(1)0()(x g x f h x h ≤⇒=≥（2）0112)()(002000<-++⇒>x ex x a x g x f （1），需求一个0x ，使（1）成立，只要求出112)(2-++=x ex x a x t 的最小值，满足,0)(min <x t)ln ,0()1()(a e a x x t x --='在 上↓在上),ln (+∞-a ↑，1)1ln (ln 2)ln ()(2min -+-+=-=∴a a a aa t x t只需证明)1,0(01)1(ln ln 22∈<-++a a a a a 在内成立即可，令)(0)(ln 21)(1)1ln (ln 2)(22a a a a a a aa ϕϕϕ⇒>='⇒-+-+=为增函数,01)1ln (ln 20)1()(2<-+-+⇒=<⇒a a a a a ϕϕ0))((min <∴x t ，故存在与a 有关的正常数)10(ln 0<<-=a a x 使（1）成立。
3.创新型函数1.在R 上定义运算()()1:43p q p c q b bc ⊗⊗=---+（b 、c 为实常数）。
记()212f c χχ=-，()22f bχχ=-，R χ∈.令()()()21f f f χχχ=⊗.（Ⅰ）如果函数()f χ在1χ=处有极值43-,试确定b 、c 的值；（Ⅱ）求曲线()y f χ=上斜率为c 的切线与该曲线的公共点；（Ⅲ）记()()()|11g x f x x '=-≤≤的最大值为M .若M k ≥对任意的b 、c 恒成立，试示k 的最大值。