第二章
2-3试证明图2-5( a )的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。

分析首先需要对两个不同的系统分别求解各自的微分表达式，然后两者进行对比，找岀两者之
间系数的对应关系。

对于电网络，在求微分方程时，关键就是将元件利用复阻抗表示，然后利用电压、电阻和电流之间的关系推导系统的传递函数，然后变换成微分方程的形式，对于机械系统，关键就是系统的力学分析，然后利用牛顿定律列岀系统的方程，最后联立求微分方程。

证明：(a)根据复阻抗概念可得：
即取A、B两点进行受力分析，可得：
整理可得：
经比较可以看岀，电网络( a)和机械系统(b)两者参数的相似关系为
2-5 设初始条件均为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制x(t)曲线，指岀各方程式的模态。

(1)
(2 )
2-7由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-6所示，试求闭环传递函数U c ( s )/U
r ( s)。

图2-6 控制系统模拟电路
解：由图可得
联立上式消去中间变量U1和U2,可得：
2-8某位置随动系统原理方块图如图2-7所示。

已知电位器最大工作角度，功率放大级放
大系数为K3,要求：
(1) 分别求岀电位器传递系数
K 0、第一级和第二级放大器的比例系数 K 1和K 2；
(2) 画岀系统结构图； (3) 简化结构图，求系统传递函数。

图2-7 位置随动系统原理图
(2)假设电动机时间常数为 Tm 忽略电枢电感的影响，可得直流电动机的传递函数为 式中Km 为电动机的传递系数，单位为。

又设测速发电机的斜率为，则其传递函数为
由此可画岀系统的结构图如下：
(3)简化后可得系统的传递函数为
2-9若某系统在阶跃输入 r(t)=1(t) 时，零初始条件下的输岀 响应，试求系统的传递函数 和脉冲响应。

分析：利用拉普拉斯变换将输入和输出的时间域表示变成频域表示，
进而求解出系统的传递函数，
然后对传递函数进行反变换求岀系统的脉冲响应函数。

解：(1)，则系统的传递函数 (2)系统的脉冲响应
2-10试简化图2-9中的系统结构图，并求传递函数 C(s)/R(s ) 和C(s)/N(s) 分析：分别假定
R(s)=o 和N(s)=O ，画出各自的结构图，然后对系统结构图进行等效变换, 将其化成最简单的形式，从而求解系统的传递函数。

解：(a )令N (s )= 0,简化结构图如图所示： 可求出：
分析：利用机械原理和放大器原理求解放大系数,
构图，求岀系统的传递函数。

解：(1)
然后求解电动机的传递函数， 从而画岀系统结
令R (s )= 0，简化结构图如图所示:
所以：
(b)令N( s) = 0,简化结构图如下图所示:
所以：
令R (s) = 0，简化结构图如下图所示:
2-12试用梅逊增益公式求图2-8中各系统信号流图的传递函数C(s)/R(s)
图2-11 题2-12系统信号流图
解：
(a)存在三个回路：
存在两条前向通路：
所以：
(b)9个单独回路：
6对两两互不接触回路：
三个互不接触回路1组:
4条前向通路及其余子式：所以,。