RE (τ ) = E ⎡ e ( t ) e ( t + τ ) ⎤ = E ⎡ s ( t ) cos (ϖ c t + θ ) ⋅ s ( t + τ ) cos (ϖ c t + ϖ cτ + θ ) ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= E ⎡ s ( t ) ⋅ s ( t + τ ) ⎤ E ⎡ cos (ϖ c t + θ ) cos (ϖ c t + ϖ cτ + θ ) ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 ⎡1 ⎤ 1 = Rs (τ ) ⋅ E ⎢ cos ( 2ϖ c t + ϖ cτ + 2θ ) + cos (ϖ cτ ) ⎥ = Rs (τ ) cos (ϖ cτ ) 2 2 ⎣2 ⎦
2 平稳随机过程(6)
■
相互独立的随机变量。s ( t ) 的功率谱密度为Ps ( f ) , θ 在0到 2π 之间均匀分布，试证明e ( t ) 的功率谱密度为
PE (
■
已知平稳随机过程 e ( t ) = s ( t ) cos ( ω c t + θ ) , 其中s ( t ) 与θ 是
1 f ) = ⎡ Ps ( f + f c ) + Ps ( f − f c )⎤ ⎦ 4⎣
RX ( t1 , t2 ) = E⎡X(t1 )X(t2 )⎤ = ∫ ⎣ ⎦
自协方差函数
∞
−∞ −∞ 1 2 2
∫
∞
x x p ( x1 , x2;t1 , t2 ) dx1dx2
CX ( t1 , t2 ) = E ⎡ X(t1 ) − mX (t1 )⎤ ⎡ X(t2 ) − mX (t2 )⎤ = RX ( t1 , t2 ) − mX (t1 )mX (t2 ) ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎧RX ( t1 , t1 +τ ) = RX (τ ) ⎪ ⎨ 2 CX ( t1 , t1 +τ ) = RX (τ ) − mX ⎪ ⎩
广义平稳(宽平稳)
(1)
2009-08-24
E [ X ( t )] = m X
(2) RX ( t1 , t1 +τ ) = RX (τ )
8
2 平稳随机过程(2)
'
1
(
1
m
m
(n + m) 维联合概率密度
' pn , m x1 ,… x n ; t1 , … t n ; y1 ,… ym ; t 1' , … t m
(
=
' ∂Fn , m x1 ,… x n ; t1 , … t n ; y1 ,… ym ; t 1n ∂y1 … ∂ym
2009-08-24
3
1 随机过程的一般表述(2)
分布函数与概率密度
一维分布函数 F1 ( x1 , t1 ) = P { X ( t1 ) ≤ x1 } 一维概率密度
p1 ( x1 , t1 ) = ∂F1 ( x1 , t1 ) ∂x1
n 维分布函数
Fn ( x1 , x 2 , … x n ; t1 , t 2 , … t n ) n 维概率密度
1 随机过程的一般表述(1)
随机过程：与时间有关的函数，但任一时刻的取值不 确定(随机变量)
样本函数：随机过程的具体实现 ~ x i ( t ) 样本空间：所有实现构成的全体 ~ S = { x1 ( t ), … , x i ( t ),…} 所有样本函数及其统计特性构成了随机过程 ~ X ( t )
( )
( )
(n + m) 维联合分布函数
' Fn , m x1 ,… x n ; t1 , … t n ; y1 ,… ym ; t 1' , … t m ' 1 1 n n
) = P { X ( t ) ≤ x ,… , X ( t ) ≤ x ;Y ( t ) ≤ y ,… , Y ( t ) ≤ y }
⎡1 ⎤ ∴ PE ( f ) = F ⎡ RE (τ ) ⎤ = F ⎢ Rs (τ ) cos (ϖ cτ ) ⎥ ⎣ ⎦ ⎣2 ⎦
2009-08-24
1 = ⎡ Ps ( f + f c ) + Ps ( f − f c )⎤ ⎦ 4⎣
13
3 高斯过程(1)
定义：任意 n 维概率密度是正态分布式
第三章
随机过程
信息与通信工程学院 无线通信系统与网络实验室(WCSN)
刘 丹 谱
dpliu@ 62282289
第三章 随机过程
随机过程的一般表述 平稳随机过程 高斯过程 平稳随机过程通过线性系统 窄带随机过程 正弦波加窄带高斯过程 循环平稳随机过程 加性噪声 匹配滤波器
2009-08-24 2
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎥ ⎦
概率密度函数仅取决于各随机变量的均值、方差和两 两之间的归一化协方差函数(相关系数) 性质： 广义平稳 ⇔ 狭义平稳 各随机变量之间互不相关 ⇔ 统计独立
2009-08-24 14
3 高斯过程(2)
一维正态分布
p1 ( x ) =
p1 ( x )
⎡ ( x − a )2 ⎤ 1 ⎥ exp ⎢ − 2 2σ 2π σ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
pn ( x1 , x 2 , … x n ; t1 , t 2 , … t n ) = 1 ⎡ 1 ⋅ exp ⎢ − ⎢ 2B ⎣ ⎛ xj − aj ∑1 ∑1 B jk ⎜ σ ⎜ j= k= j ⎝
n n
( 2π )
n 2
σ 1σ 2
σn B
12
⎞ ⎛ xk − ak ⎟⎜ ⎟ ⎠⎝ σk
2009-08-24
∀ n, m , 若有 Fn , m = Fn Fm 或 pn , m = pn pm ∼ X ( t ) 和 Y ( t ) 相互独立
6
1 随机过程的一般表述(5)
两随机过程的数字特征
互相关函数
RXY ( t1 , t2 ) = E⎡X(t1 )Y(t2 )⎤ = ∫ ⎣ ⎦
4
1 随机过程的一般表述(3)
随机过程的数字特征
均值 方差
E [ X ( t )] =
D [ X ( t ) ] = E { X ( t ) − E [ X ( t ) ]}
∫
∞ −∞
xp1 ( x , t ) dx = m X ( t )
2
自相关函数
2 2 = E ⎡ X 2 (t )⎤ − m X (t ) = σ X (t ) ⎣ ⎦
⎧ m X = x(t ) ⎪ ⎨ ⎪ R X (τ ) = x ( t ) x ( t + τ ) ⎩
时间平均代替统计平均
遍历过程必定是平稳过程，反之不然。
2009-08-24
9
2 平稳随机过程(3)
实平稳随机过程的自相关函数
偶函数： RX (τ ) = RX (−τ ) 有界性： RX (τ ) ≤ RX (0) 周期性：若 X ( t ) = X ( t + T ) , 则 RX (τ ) = RX (τ + T ). 统计平均功率：E ⎡ X 2 ( t ) ⎤ = RX (0) ⎣ ⎦
2009-08-24
7
2 平稳随机过程(1)
狭义平稳(严平稳)
pn ( x1 , x 2 , … x n ; t1 , t 2 , … t n ) = pn ( x1 , x 2 , … x n ; t1 + τ , t 2 + τ , … t n + τ ) ， ∀ n,τ
p1 ( x1 ; t1 ) = p1 ( x1 ; t1 + τ ) = p1 ( x1 )
相关系数
{
}
ρX ( t1 , t2 ) =
CX ( t1 , t2 )
σ X (t1 )σ X (t2 )
5
若 ρX ( t1 , t2 ) = 0， X ( t1 ) 和 X ( t2 ) 不相关。 称
2009-08-24
1 随机过程的一般表述(4)
两随机过程的联合分布函数和概率密度
对于( n + m )维随机向量 ⎡ X ( t1 ) ,… , X ( t n ) ;Y t 1' ,… , Y t 'm ⎤ ⎣ ⎦
{
}
2⎤ ⎦
=
∴ X ( t ) 是广义平稳随机过程 作业：P64 3.1 1 PX ( f ) = F ⎡ RX (τ ) ⎤ = ⎡δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 ) ⎤ ⎣ ⎦ 4⎣ ⎦ 2009-08-24 12
■
1 1 cos 2π f 0 ( t 2 − t1 ) − 0 = cos 2π f 0τ 2 2
互协方差函数
∞
−∞ −∞
∫
∞
xy p2 ( x, t1 , y, t2 ) dxdy
CXY ( t1 , t2 ) = E ⎡X(t1 ) − mX (t1 )⎤⎡Y(t2 ) − mY (t2 )⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦ = RXY ( t1 , t2 ) − mX (t1 )mY (t2 )
{
}
∀t1 , t 2 , 若有 C XY ( t1 , t 2 ) = 0 ∼ X ( t ) 和 Y ( t ) 不相关
■
= sin 2π f 0 tE [ cos θ ] + cos 2π f 0 tE [ sin θ ] 2π 2π 1 1 = sin 2π f 0 t ∫ cos θ ⋅ dθ + cos 2π f 0 t ∫ sin θ ⋅ dθ = 0 0 0 2π 2π
■
RX ( t1 , t 2 ) = E ⎡sin ( 2π f 0 t1 + θ ) sin ( 2π f 0 t 2 + θ ) ⎤ ⎣ ⎦ = E ⎡ cos 2π f 0 ( t 2 − t1 ) − cos ⎡ 2π f 0 ( t1 + t 2 ) + 2θ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣