第1讲 数数图形个数一、知识要点同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。

要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。

首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。

二、精讲精练【例题1】数出下图中有多少条线段？【思路导航】方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。

以A 点为左端点的线段有：AB 、AC 、AD 3条；以B 点为左端点的线段有：BC 、BD 2条；以C 点为左端点的线段有：CD 1条。

所以，图中共有线段3+2+1=6（条）。

方法二：把图中线段 AB 、BC 、CD 看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的线段有：AB 、BC 、CD 3条；由2条基本线段构成的线段有:AC 、BD 2条；由3条基本线段构成的线段有：AD 1条。

所以，图中一共有3+2+1=6（条）线段。

练习1：（1）数出下图中有多少条线段？ （2）数出下图中有几个长方形？【例题2】数出图中有几个角？【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。

方法一：以OA 为一边的角有：∠AOB 、∠AOC 、∠AOD 3个；以OB 为一边的角还有： ∠BOC 、∠BOD 2个；以OC 为一边的角还有：∠COD 1个。

所以，图中共有角3+2+1=6（个）。

方法二：把图中∠AOB 、∠BOC 、∠COD 看做基本角来数，那么，由1个基本角构成的角有：∠AOB 、∠BOC 、∠COD 3个；由2个基本角构成的角有: ∠AOC 、∠BOD 2个；由3个基本角构成的角有：∠AOD 1个。

所以，图中一共有3+2+1=6（个）角。

DABCEA B CD ODC B A练习2：数出图中有几个角？（1） （2）【例题3】数出右图中共有多少个三角形？【思路导航】方法一：我们可以采用按边分类数的方法。

以PA 为边的三角形有：△PAB 、△PAC 、△PAD 、3个；以PB 为边的三角形还有：△PBC 、△PBD 2个；以PC 为边的三角形还有：△PCD 1个。

所以，图中共有三角形3+2+1=6（个）。

方法二：把图中三角形 △PAB 、△PBC 、△PCD 看做基本三角形来数，那么，由1个基本三角形构成的三角形有：△PAB 、△PBC 、△PCD 3个；由2个基本三角形构成的三角形有: △PAC 、△PBD 2个；由3个基本三角形构成的三角形有：△PAD 1个。

所以，图中一共有3+2+1=6（个）三角形。

方法三：我们发现，要数出图中三角形的个数，只需数出线段 AD 中包含几条线段就可以了，即3+2+1=6（个）。

所以图中共有6个三角形。

练习3：数出图中共有多少个三角形？（1） （2）例2 下列各图形中，三角形的个数各是多少？ED OC BA OCB A PDCBAKG I H G FEDC B AFEDC B A分析与解：因为底边上的任何一条线段都对应一个三角形(以顶点及这条线段的两个端点为顶点的三角形)，所以各图中最大的三角形的底边所包含的线段的条数就是三角形的总个数。

由前面数线段的方法知，图(1)中有三角形1＋2＝3(个)。

图(2)中有三角形1＋2＋3=6(个)。

图(3)中有三角形1＋2＋3＋4＝10(个)。

图(4)中有三角形1＋2＋3＋4＋5＝15(个)。

图(5)中有三角形 1＋2＋3＋4＋5＋6=21(个)。

例3下列图形中各有多少个三角形？分析与解：(1)只需分别求出以AB，ED为底边的三角形中各有多少个三角形。

以AB为底边的三角形ABC中，有三角形1＋2＋3＝6(个)。

以ED为底边的三角形CDE中，有三角形1＋2＋3＝6(个)。

所以共有三角形6＋6=12(个)。

这是以底边为标准来分类计算的方法。

它的好处是可以借助“求底边线段数”而得出三角形的个数。

我们也可以以小块个数作为分类的标准来计算：图中共有6个小块。

由1个小块组成的三角形有3个；由2个小块组成的三角形有5个；由3个小块组成的三角形有1个；由4个小块组成的三角形有2个；由6个小块组成的三角形有1个。

所以，共有三角形 3＋5＋1＋2＋1＝12(个)。

(2)如果以底边来分类计算，各种情况较复杂，因此我们采用以“小块个数”为分类标准来计算：由1个小块组成的三角形有4个；由2个小块组成的三角形有6个；由3个小块组成的三角形有2个；由4个小块组成的三角形有2个；由6个小块组成的三角形有1个。

所以，共有三角形 4＋6＋2＋2＋1＝15(个)。

例4右图中有多少个三角形？解：假设每一个最小三角形的边长为1。

按边的长度来分类计算三角形的个数。

边长为1的三角形，从上到下一层一层地数，有1＋3＋5＋7=16(个)；边长为2的三角形(注意，有一个尖朝下的三角形)有1＋2＋3＋1=7(个)； 边长为3的三角形有1＋2＝3(个)； 边长为4的三角形有1个。

所以，共有三角形 16＋7＋3＋1＝27(个)。

【例题4】数出下图中有多少个长方形？【思路导航】数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长、宽两对线段围成，线段 CD 上有3+2+1=6（条）线段，其中每一条与AC 中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共有6×1=6（个）长方形，而AC 上共有2+1=3（条）线段也就有6×3=18（个）长方形。

它的计算公式为：长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数（3+2+1）×（2+1）=18（个） 答：图中共有18个长方形。

练习4：（1）数出下图中有多少个长方形？ （2）数出下图中有多少个正方形？【例题5】有5个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次？【思路导航】这道题可以用数线段的方法来解答。

根据题意，画出线段图，每一个端点代表一个同学。

从图上可以看出，第1个同学要与其余4个同学握手共握手4次；第2个同学还要与其余3个同学握手共握手3次，第3个同学要与其余2个同学握手共握手2次；第4个同学还要与最后1个同学1.下列图形中各有多少条线段？DCBADCBA543212.下列图形中各有多少个三角形？3.下列图形中，各有多少个小于180°的角？4.下列图形中各有多少个三角形？5.下列图形中各有多少个长方形？6.下列图形中，包含“*”号的三角形或长方形各有多少？7.下列图形中，不含“*”号的三角形或长方形各有几个？第2讲寻找规律填空一年有春夏秋冬四个季节，这四个季节按一定的顺序不断变化；在上楼的过程中，你可能会数台阶的级数，1、2、3……生活当中有很多有规律的数组合到一起，我们这次课，就是要仔细观察、分析一列数中已知数之间的关系，发现排列的规律，并根据这个规律填出所缺的数。

☆这可需要我们要长有一双像孙悟空那样的“火眼金睛”呀！☆准备好了吗？让我们一起踏上发现之旅！【基础知识】1、数列：按一定次序排列的一列数就叫做数列。

2、项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

第一个数叫做第1项，第二个数叫做第2项，……，第n个数就叫做第n项。

3、有穷数列和无穷数列。

项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列。

4、观察小窍门：一般情况下我们需要仔细观察相邻的数之间的关系，但有时候可需要隔着来观察。

【例题1】观察下面的数列，说一说括号中应该填多少？根据规律填数：（1）2，4，6，8，（），……（2）2，5，8，11，（），17，……（3）25，20，15，10，（）习题：（1）（），4，8，16，（），（），……（2）1，3，9，27，（），243（3）35，（），21，14，（），（）（4）64，32，16，8，（），2【例题2】先找规律，再在括号里填上合适的数（1）15,2,12,2,9,2，（），（）（2）21,4,18,5,15,6，（），（）（3）3,4,7,3,4,10,3,4,13，（），（），（）习题：（1）2,1,4,1,6,1，（），（）（2）3,2,9,2,27,2，（），（）（3）18,3,15,4,12,5，（），（）（4）4,7,8,4,6,13,4,5,18，（），（），（）【例题3】先找规律，再在括号里填上合适的数（1）2,5,14,41，（ ） （2）252,124,60,28，（ ） （3）1,2,5,13,34，（ ） （4）1,4,9,16,25,36，（ ）习题：（1）2,3,5,9,17，（ ），（ ） （2）2,4,10,28,82，（ ），（ ） （3）5,9,6,10,7，（ ） （4）6,12,20,30,42，（ ）【例题4】根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。

（1）（3）习题：找出排列规律，在空缺处填上适当的数。

（1） （3）(2)9437148428164(2)4892768287【例题5】按规律填数。

（1）187，286，385，（ ），（ ） （2）练习5：根据规律，在空格内填数。

（1）198，297，396，（ ），（ ） （2） （3）。