§6 函数的一致连续性概念与应用部分练习参考解答1． 若对任何0,f ε>在[,]a b εε+-上连续，是否可推出f 在(),a b 上连续。
2． 试用一致连续的定义证明：若函数f 在[],a c 和[],c d 上都一致连续，则f 在[],a b 上也一致连续。
3． 证明：若f 在[],a b 上连续，且不存在任何[],x a b ∈使得()0f x =，则f 在[],a b 上恒正或恒负。
4． 证明：(1) 函数x x f =)(在),0[+∞上一致连续。
(2) 函数2)(x x f =在],[b a 上一致连续，但在),(+∞-∞上不一致连续。
5． 证明 ()f x ax b =+(0)a ≠在(,)-∞+∞上一致连续。
6． 求证下列函数在指定区间上一致连续：(1) ()1f x x=， ()0a x <≤<+∞； 2) ()f x = ()0x ≥。
证 (1) 0ε∀>，取2a δε=， 则当212x x a ε-<时， 有12122121211x x x x x x x x a ε---=≤<， ()12,x x a ∀≥。
即得()1f x x=在[),a +∞上一致连续。
(2) 设210x x >≥， 则有=≤即有。
于是， 对0ε∀>， 30δε∃=>， 对12,0x x ∀≥， 当21x x δ-<时， 有ε≤<即得()f x 在0x ≥上一致连续。
7． 求证下列函数在指定区间上不一致连续。
(1) ()()1sin01f x x x=<<； (2) ()()ln 0f x x x =>。
证 (1) 取'12nx n π=，''122n x n ππ=+， ()1,2,n =，则有()'''lim 0n n n x x →∞-=。
而 ()()()'''lim lim11n n n n f x f x →∞→∞-==。
于是()f x 在()0,1上不一致连续。
(2) 取''n n x e -=， ()1'n n x e -+=， ()1,2,n =， 则有()'''lim 0n n n x x →∞-=， 而()()'''lim lim11n n n n f x f x →∞→∞⎡⎤-==⎣⎦。
由此推出()f x 在()0,+∞上不一致连续。
8． 设()f x 在(),a b 上一致连续，求证：(1) 0δ∃>， 使得对0x ∀， 当()()00,,x a b x x δδ∈⋂-+时，()()01f x f x ≤+。
(2) ()f x 在(),a b 上有界。
证(1) 由()f x 的一致连续性， 对 10ε=>，0δ∃>， 当()()00,,x a b x x δδ∈⋂-+时，有 ()()()()0011f x f x f x f x -<⇒≤+。
(2) 利用(1)中的δ把(),a b 分成n 个小区间， 设分点为01n a x x x b =<<<=，使得()11max k k k nx x δ-≤≤-<， 令(){}11max1kk n M f x ≤≤-=+， 对(),x a b ∀∈， x 一定落在某一个小区间， 即()11k k n ∃≤≤-， 使得[]1,k k x x x -∈。
于是根据(1)， 有()()1k f x f x -<， ()11k n ≤≤-，或()()11k f x f x --<， ()2k n ≤≤。
并由此推出 ()f x M ≤。
9． (1) 证明函数1y x =在(0,1)内不一致连续。
(2) 0c ∀>，证明 1y x=在(,1)c内是一致连续的。
10．证明 1sinx在(,1)c (0)c >内是一致连续的，而在(0,1)内连续但非一致连续。
11．设区间1I 的右端点为1c I ∈，区间2I 的左端点也为2c I ∈（12,I I 可分别为有限或无限区间）。
试按一致连续性定义证明：若f 分别在1I 和2I 上的一致连续，则f 在12I I I =⋃上也一致连续。
12．设函数)(x f 和)(x g 在区间I 上一致连续。
证明函数)()(x g x f +在区间I 上一致连续。
13．设函数)(x f 在有限开区间),(b a 内连续。
则)(x f 在有限开区间),(b a 内一致连续， )0( +⇔a f 和)0(-b f 存在( 有限 )。
14．设函数)(x f 在有限开区间),(b a 内连续。
则)(x f 在),(b a 内一致连续，⇔)(x f 在),(b a 内一致连续。
15．若f 在[,)a +∞上连续，且lim ()x f x →+∞存在。
证明：f 在[,)a +∞上有界。
试问f 在[,)a +∞上必有最大（小）值吗？ 16．设函数)(x f 在R 内连续且 .)(lim +∞=∞→x f x 则)(x f 在R 内有最小值。
(与)0(f 比较。
)17． 证明：任一实系数奇次方程至少有一个根。
18． 求证：三次方程3210x x +-=只有唯一根，此根在()0,1内。
19． 证明方程240x x -=在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭内有一根。
20．证明方程01423=+-x x 在()1,0内至少有一个实根．证 设()1423+-=x x x f ，()x f 在[]1,0上连续，又()010>=f ， ()021<-=f由推论１知：至少存在一点()1,0∈ξ，使得()0=ξf ．这表明所给方程在()1,0内至少有一个实根ξ． 21． 证明，方程内各有一个实根与在)3,2()2,1(03162715=-+-+-x x x 。
22．证明：若()x f 与()x g 在[]b a ,连续，且()()a g a f <，()()b g b f >，则()()()c g c f b a c =∈∃使,,。
证 设()()()()x F x g x f x F 显然,-=在[]b a ,连续，且()()()()()()0,0>-=<-=b g b f b F a g a f a F 。
由零点定理，()b a c ,∈∃，使()()()()()c g c f c g c f c F ==-=即,0。
23．证明， 奇次多项式 1221120)(+++++=n n n a x a x a x P 至少存在一个实根，其中n a a a ,,10都是常数，且00≠a 。
证 已知多项式()x P 在R 连续。
将()x P 改写为.)(.0)(,),(,.0)(,0)(,0,)(lim ,)(lim ,0)()(012121012至少存在一个实根即奇次多项式使一点内至少存在在根据零点定理与使得于是有不妨设x P c P c P P x P x P a xa x a a x x P x x n n n =->->>∃-∞=+∞=>+++=-∞→+∞→+++γγγγγ24．设函数)(x f 在区间)0( ]2 , 0[>a a 上连续， 且).2()0(a f f = 证明， 在区间] , 0[a 上至少存在某个,c 使 ).()(a c f c f += 证 若)2()(a f a f =， 取0=c 或a c =即可；若),2()(a f a f ≠ 不妨设).2()(a f a f > 设)()()(a x f x f x F +-=， 应用零点定理即得所证。
25．设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，.21b x x x a n <<<<< 试证明：],,[1n x x ∈∃ξ 使.)()()()(21nx f x f x f f n +++= ξ26． 设.)( ,)( ],,[b b f a a f b a C f <>∈ 试证明：方程 x x f =)(在区间),(b a 内有实根。
27． 证明： 方程 x x x cos sin 2=- 在0到2π之间有实根。
28．证明：若0r >，n 为正整数，则存在唯一正数0x ，使得0n x r =。
(唯一性的证明用n x 在) , 0 (∞+内的严格递增性。
)29．设f 在[,]a b 上连续，满足([,])[,]f a b a b ⊂。
证明：存在0[,]x a b ∈，使得00()f x x =。
30．证明：若()f x 在[,]a b 上连续，1...,n a x x b <<<<则在1[,]n x x 上必有一点ξ，使 12()()...()()n f x f x f x f nξ+++=证 因为()f x 1[,]n x x 上连续，所以()f x 在1[,]n x x 上有最大值M 和最小值m ，使1(),(),([,])i n m f x M m f x M x x x ≤≤≤≤∈。
于是12()()...()n nm f x f x f x nM≤+++≤，即12[()()...()]/n m f x f x f x n M ≤+++≤。
由闭区间上连续函数的介值定理，知存在1[,](,)n x x a b ξ∈⊂，使12()()()...()]/,(,)n f f x f x f x n a b ξξ=+++∈。
31． 设()f x 在[,]a b 上连续，a c d b <<<，证明：对任意正数P 和q ，至少有一[,]c d ξ∈，使()()()()pf c qf a p q f ξ+=+。
证 因[,][,]c d a b ⊂，所以()f x 在[,]c d 连续，故在[,]c d 上取得最小值m 与最大值M ，使(),()m f c M m f d M ≤≤≤≤，因为0,0,p q >>所以(),(),pm pf c pM qm qf d qM ≤≤≤≤两式相加得()()()()p q m pf c qf d p d M +≤+≤+。
即 ()()pf c qf d m M p q+≤≤+。
依介值定理推论，在[,]c d 上至少有一ξ，使()()()pf c qf d f p qξ+=+。
从而 ()()()()pf c qf d p q f ξ+=+。
32．设()f x 是[,]a b 上的连续函数，且()0,()0f a f b <>，求证：(,)c a b ∃∈使()0f c =且(,], ()0x c b f x ∀∈>。