当 k 时， lim Vk X 1 / max X 1
k
数值分析
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Ak 1V0 AkV0 U k AVk 1 A k 1 max A V0 max Ak 1V0
i k [1 X 1 ( ) i X i ] i 2 1 n k 1 i k 1 max 1 [1 X 1 ( ) i X i ] i 2 1
量不为零，这样，以后的计算就满足所设条件。 2）因Vk ) 1k1 x (1) , 计算过程中可能会出现溢出 y ( k 1k 1 X1 ( 1 1)或成为0( 1 1)的情形。解决方法：每次迭 代所求的向量都要归范化。因此，幂法实际使用的 计算公式是
U k AVk 1 Ck max(U k ) V U ／C k k k
n k 1
n i k 1 max 1 X 1 ( ) i X i i 2 1 Ck max(U k ) n i k 1 max 1 X 1 ( ) i X i i 2 1
lim Ck 1
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其 第i个 方 程 是 a ii a ij x j ,
j 1 ji
n
因 为 x j 1, ( j 1,2, , n)， 得 到 a ii a ij ri 此 式 说 明 必 须 在 以 ii 为 中 心 的 格 希 格 林 圆 内 。 a 盘 定理 4-1 (格希哥林 Gerschgorin 圆盘定理)
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因此，可把Vk ) 作为与i 相应的特征向量的近似。 y( k
X1 X1 y( k 由 Vkk1 1k 11 x (1) , Vk ) 1k1 x (1) y ( 1)
y ( k ) y( k ) Vik i为 Vk 的第i 个分量。
y i Vki(k11) ( i 1, 2, n) 11 (k ) y Vki i
n j 1 ji



设 有Ax x， 将A的 特 征 向 量 规 范 化 使 最 大 元 为 其 x i 1， 则 有 a11 a12 a1n x1 x1 a i 1 a i 2 a in 1 1 a n1 a n 2 a nn x n xn
（4-8 ） 其中 max（ U ）表示向量 U k k
中绝对值最大的一个分量。
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定理4-2
X1 lim Vk k max( X 1 )
lim C k 1
k
证明 由递推公式（4-8），有 1 1 1 1 1 1 Vk U k AVk 1 A U k 1 A AVk 2 Ck Ck Ck Ck 1 Ck Ck 1
所得向量序列 Vk ) 呈有规律的摆动，则可能为1 2 y(
k
的情况。否则应考虑用别的方法求解。此外，当矩阵 A无n个线性无关的特征量时，幂法收敛很慢，亦应考 虑改用其他方法。 幂法计算简便易行，它是求大型稀疏矩阵按模最 大特征值的常用方法。
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二、幂法的加速
因为幂法的收敛速度是线性的，而且依赖于比值
( ( X i ( x1(i ) , x2i ) , , xni ) ), i 1, 2, n 线性无关。
Vk 1 i 向量 Vk 逼近 A 的优特征值对应的特征向量 , 1 Vk i
任取非零的初始向量V0，构造向量序列Vk AVk 1
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存在不全为零的常数i i 1, 2,, n）,（这里假设1 0）， （ 使得V0 i X i
i 1 n
Vk AVk 1 AkV0 Ak ( i X i ) i ik X i
i 1 i 1
n
n
由1 0, 1 i ( i 2, 3, , n) 得
i k [1 X 1 ( ) i X i ] i 2 1
n k 1
m 1 k ( X Xm 1) ( n )k n x ( nn) ] ( ) m 1 x m 1 1 1 显然，只要1 , , m 不全为零，当k 充分大时，就有 Xm Vk) 1k (1 x (1) m x ( m ) ) y( k X1 1 2 m
按上面式子计算矩阵A按模最大的特征值 与相应的特征向量的方法称为幂法。 幂法的收
2 敛速度依赖于比值 ，比值越小，收敛越快。 1
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两点说明：
1）如果V0 的选取恰恰使得1 0, 幂法计算仍能 y (0) 进行。因为计算过程中舍入误差的影响，迭代若干
X1 次后，必然会产生一个向量Vk ) , 它在x (1) 方向上的分 y(k
Vk yi( k11) i V yi(kk ) i
因1 x (1) m x ( m )也是矩阵A相应于1的特征向量，故有 X1 Xm
Vk )为相应的特征向量，即对这种情况幂法仍然有效。 y( k
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（2）1 2 , 1 3 , 且矩阵A有n个线性无关的特征向量。
j 1 ji
n
设矩阵 A (aij ) R
nn
，令
n Z i z : z aii aik k 1 k i

则矩阵 A 的所有特征值包含于
Z
n
i
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k
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数值分析 两种特殊情况
前面假定 1 2 .如果按模最大的特征值有多个，即
1 2 m m 1 n 幂法是否有效？
（ ）1 是m重根，即1 2 m , 矩阵A仍有n个线性无 1 关的特征向量。此时有 y ( k ) 1k [1 x (1) m x ( m ) X1 Xm Vk
1 1 2 1 A Vk 2 AkV0 Ck Ck 1 Ck Ck 1 C1
1k [1 X 1 ( i )k i X i ] AkV0 i 2 1 Vk k n k max A V0 i k max 1 [1 X 1 ( ) i X i ] i 2 1
2 1 ／
,当比值接近于1时，幂法收敛很慢。幂法
加速有多种，介绍两种。
1. 原点移位法 矩阵A与A pI 的特征值有以下关系：若i 是A的特 征值，则i p就是A pI 的特征值，而且相应的特征
数值分析
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二、特征值问题的稳定性
数值分析
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第二节 幂法和反幂法
一、幂法
求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。 它是通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特 征向量。
设 n 阶实矩阵 A R
nn
的 n 个特征值为 i (i 1, 2, , n) ，
满足
1 2 n 0 ，所对应的 n 个特征向量
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故在这种情况下，仍可按幂法产生向量序列。
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幂法小结 综上可知，当A的特征值分布为 1 2 n
或 1 2 m m 1 n 时，用幂法可以
( Vk 1) AVk(1迭代 Ay k ) 计算出1及相应的特征向量。如果按y k
由上式可知，Vk ) 是个摆动序列，当k 充分大时，有 y( k
k yi(V 2)2 i k 2 k 1 ( k ) 1,2 yi(Vk2)i// Vk( k i) yi 2 yiVk i
3 k n k (3) X y Vk [1 x ( 1) 2 xX 2 ( ) 3 x 3 ( ) n x ( nn) ] X X 1 1
n k 1 n i k i k k 1 [1 X 1 ( ) i X i ] [1 X 1 ( ) i X i ] i 2 1 i 2 1 n n i k i k k 1 max [1 X 1 ( ) i X i ] max [1 X 1 ( ) i X i ] i 2 1 i 2 1 n
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第四章 代数特征值问题
第一节 特征值的估计和数值稳定性 第二节 幂法和反幂法 第三节 求实对称矩阵特征值的雅可比 （Jacobi）方法 第四节 求矩阵全部特征值的QR方法
数值分析
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第一节 特征值的估计和数值稳定性
一、格希格林圆盘(Gerschgorin)
定义 对n阶矩阵A (aij )nn，令ri aij ,( i 1, 2, , n) 则称Z i z C z aii ri 为格希格林圆盘。
n
由于 Vk 是归一化向量，所以 Ck Ck 1 C1 max A V0
k


U k AVk 1 Ck max(U k ) V 数值分析 C k U k／ k
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i k [1 X 1 ( ) i X i ] k A V0 i 2 1 Vk k n k max A V0 i k max 1 [1 X 1 ( ) i X i ] i 2 1
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第四章 代数特征值问题
工程实践中有多种振动问题，如桥梁 或建筑物 的振动，机械机件、飞机机翼的振动，及 一些稳定 性分析和相关分析可转 化为求矩阵特征值与特征向 量的问题。
矩阵A aij