=max(v (k ) ),
u (k) =
v (k) /
m k
2、对于反幂法的定理
（2）
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按式（2）计算出的 m k 和 u (k ) 满足：
lim
k
m
k
=1 n
,
lim u (k ) = xn
k
max(xn )
在式（2）中，需要用到 A 1 ，这给计算带来很大的不方便，因此，把（2）式
k
max(x1 )
（二）反幂法算法的理论依据及推导
反幂法是用来计算绝对值最小的特征值忽然相应的特征向量的方法。是对 幂法的修改，可以给出更快的收敛性。 1、反幂法的迭代格式与收敛性质
设 A 是非奇异矩阵，则零不是特征值，并设特征值为 | 1 |≥| 2 |≥…≥| n1|>| n |
则按 A 1 的特征值绝对值的大小排序，有
输入 A； [m,u,inde x] 结束 =pow(A,1e -6)
三、算法的理论依据及其推导
（一）幂法算法的理论依据及推导
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幂法是用来确定矩阵的主特征值的一种迭代方法，也即，绝对值最大的特
征值。稍微修改该方法，也可以用来确定其他特征值。幂法的一个很有用的特
说
（ I-A）x=0
（3）
明
的解，就可得到相应的特征向量。
上述方法对于 n 很小时是可以的。但当 n 稍大时，计算工作量将以惊
人的速度增大，并且由于计算带有误差，方程（2）未必是精确的特征方
程，自然就不必说求解方程（2）与（3）的困难了。幂法是一种计算矩阵
主特征值（矩阵按模最大的特征值）及对应特征向量的迭代方法，特别是
的第一式改为求解线性方程组
A v (k ) = u (k 1)
求
3.设计程序并进行计算；
4.对结果进行解释说明；
对于幂法和反幂法求解矩阵特征值和特征向量的问题将从问题分析，算 法设计和流程图，理论依据，程序及结果进行阐述该问题。
一．问题的分析：
求 n 阶方阵 A 的特征值和特征向量，是实际计算中常常碰到的问题，
采
如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题等。对于 n 阶矩阵 A，若存在
数值分析幂法和反幂 法
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题
幂法和反幂法求矩阵特征值
目
具 随机产生一对称矩阵，对不同的原点位移和初值(至少取 3 个)分别使用幂
体 法求计算矩阵的主特征值及主特征向量，用反幂法求计算矩阵的按模最小特征
内 值及特征向量，并比较不同的原点位移和初值说明收敛。
容
1.认真读题，了解问题的数学原形；
要
2.选择合适问题求解的数值计算方法；
（3）解线性方程组
Ly (k ) =u (k 1) ,Uv (k ) =y (k )
（4）计算
m =max(v (k ) ), u (k ) = v (k ) / m
k
k
（5）若|m k =m k1 |< ，则停止计算（1/m k 作为绝对值最小特征值 n ，u (k ) 作
为相应的特征向量）;否则置 k=k+1，转（3）.
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幂法流程图：
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开始 输入 A；[m,u,index] =pow(A,1e-6)
k=0;m1= v=A*u
[vmax,i]=max(abs(v))
m1=m;k=k+1
m=v(i);u=v/m
abs(m-m1)< 1e-6
index=1;break; 输出：m，u，index
用于大型稀疏矩阵。反幂法是计算海森伯格阵或三角阵的对应一个给定近
似特征值的特征向量的有效方法之一。
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二．算法设计及流程图
1、幂法算法
（1）取初始向量 u (0) （例如取 u (0) =(1,1,…1) T ）,置精度要求 ，置 k=1.
（2）计算
v (k ) =Au (k 1) ,m =max(v (k ) ), u (k ) = v (k ) / m
k
k
（3）若|
m= k
m k1 |< ，则停止计算（m k 作为绝对值最大特征值 1 ，u (k ) 作
为相应的特征向量）否则置 k=k+1，转（2）
2、反幂法算法
（1）取初始向量 u (0) （例如取 u (0) =(1,1,…1) T ）,置精度要求 ，置 k=1.
（2）对 A 作 LU 分解，即 A=LU
| 1 |>| 1 |≥…≥| 1 |
n
n 1
1
对 A 1 实行幂法，就可得 A 1 的绝对值最大的特征值 1/ n 和相应的特征向量， 即 A 的绝对值最小的特征值和相应的特征向量。
由于用 A 1 代替 A 作幂法计算，因此该方法称为反幂法，反幂法的迭代格
式为
v (k) =
A 1 u (k 1) ,m k
用
数 和 n 维向量 x 满足
方
Ax= x
（1）
则称 为矩阵 A 的特征值，x 为相应的特征向量。
法
由高等代数知识可知，特征值是代数方程
及
|
I-A|=
n
+a 1
n1 +…+a n1
+a n
=0
（2）
结
的根。从表面上看，矩阵特征值与特征向量的求解问题似乎很简单，只需
果
求解方程（2）的根，就能得到特征值 ，再解齐次方程组
性是它不仅可以生成特征值，而且可以生成相应的特征向量。实际上，幂法经
常用来求通过其他方法确定的特征值的特征向量。
1、幂法的迭代格式与收敛性质
设 n 阶矩阵 A 的特征值 1 ， 2 ,…, n 是按绝对值大小编号的， x i (i=1,2,…,n)为对应 i 的特征向量，且 1 为单根，即
| 1 |>| 2 |≥…≥| n | 则计算最大特征值与特征向量的迭代格式为
（1）
v (k ) =Au (k 1) ,m k =max(v (k ) ), u (k ) = v (k ) / m k
其中 max(v (k ) )表示向量 v (k ) 绝对值的最大分量。
2、对于幂法的定理
按式（1）计算出 m k 和 u (k ) 满足
lim
k
m
k
=
1 ,
lim u (k ) = x1
结束Βιβλιοθήκη 反幂法流程图收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
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开始
输入 A；
[m ,u,index] =pow_inv(A,1e-6)
k=0;m1=0
v=invA*u [vmax,i]=max(abs(v))
m1=m;k=k+1
m=v(i);u=v/m
abs(m-m1)< 1e-6
index=1;break; 输出：m，u，index