5. 设 A, B 是可逆矩阵, 且 A 与 B 相似, 则下列结论错误的是
[C ]
(A) AT 与 BT 相似.
(B) A−1 与 B−1 相似.
(C) A + AT 与 B + BT 相似.
(D) A + A−1 与 B + B−1 相似.
数学（一） 试题及解答 · 第 1 页（共 7 页）
长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
=
1 2
.
10. 向量场 A(x, y, z) = (x + y + z)i + xyj + zk 的旋度 rotA = j + (y − 1)k .
11. 设函数 f (u, v) 可微, z = z(x, y) 由方程 (x + 1)z − y2 = x2f (x − z, y) 确定, 则 dz|(0, 1) = −dx + 2dy .
x < 1,
(D) F (x) = x(lnx − 1) + 1, x ⩾ 1.
3.
若y
√ = (1 + x2)2 − 1 + x2,
y
=
(1
+
x2)2
+
√ 1
+
x2
是微分方程
y′
+
p(x)y
= q(x) 的
两个解, 则 q(x) =
[A]
(A) 3x(1 + x2).
(B) −3x(1 + x2).
其中 C1, C2 是任意常数, λ1 < 0, λ2 < 0 是特征方程的两个根 ⇒
y(x) dx 收敛.
(
) (0 ) ( )
设函数 y(x) 满足方程 y′′ + 2y′ + ky = 0, 其中 0 < k < 1.
ˆ +∞
( I ) 证明: 反常积分
y(x) dx 收敛;
0
ˆ +∞
( II ) 若 y(0) = 1, y′(0) = 1, 求
y(x) dx 的值.
0
( I ) 证 y′′ + 2y′ + ky = 0, 0 < k < 1 ⇒ y(x) = C1eλ1x + C2eλ2x, ˆ +∞
6. 设二次型 f (x1, x2, x3) = x21 + x22 + x23 + 4x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3, 则 f (x1, x2, x3) = 2
在空间直角坐标下表示的二次曲面为
[B]
(A) 单叶双曲面. (C) 椭球面.
(B) 双叶双曲面. (D) 柱面.
7. 设随机变量 X ∼ N (µ, σ2) (σ > 0), 记 p = P {X ⩽ µ + σ2}, 则
[B]
(A) p 随着 µ 的增加而增加.
(B) p 随着 σ 的增加而增加.
(C) p 随着 µ 的增加而减少.
(D) p 随着 σ 的增加而减少.
8. 设随机试验 E 有三种两两不相容的结果 A1, A2, A3, 且三种结果发生的概率均为
1 ,
3
将试验 E
独立重复做两次,
X
表示两次试验中结果 A1
三、解答题：15 ∼ 23 小题, 共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分 10 分）
已知平面区域
D
=
{ (r,
θ)
|
2
⩽
r
⩽ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2(1
+ cosθ),
π −
⩽
θ
⩽
π
} ,
¨
2
2
计算二重积分 x dxdy.
D
数学（一） 试题及解答 · 第 2 页（共 7 页）
长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
解 换成极坐标计算, ¨
ˆπ 2
ˆ 2(1+cosθ)
x dxdy = dθ
r cosθ · r dr
D
ˆ−
π 2
2
π(
)
= 16 2 cos2θ + cos3θ + 1 cos4θ dθ
(0
3 )
1π 2 131π
= 16 · + + · · ·
22 3 3422
32 = + 5π.
3
16.（本题满分 10 分）
发生的次数,
Y
表示两次
试验中结果 A2 发生的次数, 则 X 与 Y 的相关系数为
[A]
1 (A) −2 .
1 (B) −3 .
1 (C) .
3
1 (D) −2 .
二、填空题：9 ∼ 14 小题, 每小题 4 分, 共 24 分.
ˆx
9. lim
x→0
0
t ln (1 + t sint) dt
1 − cosx2
(C)
x .
(1 + x2)
x, 4. 已知函数 f (x) = 1 ,
n
x ⩽ 0,
1
<
x
⩽
1 ,
n
=
1,
2,
···
,
则
n+1
n
x (D) − (1 + x2) .
[D]
(A) x = 0 是 f (x) 的第一类间断点. (B) x = 0 是 f (x) 的第二类间断点.
(C) f (x) 在 x = 0 处连续但不可导. (D) f (x) 在 x = 0 处可导.
12.
设函数 f (x)
= arctanx −
x ,
1 + ax2
且 f ′′(0) = 1,
则a=
1 2
.
13. 行列式
λ −1 0 0 0 λ −1 0 0 0 λ −1 4 3 2 λ+1
= λ4 + λ3 + 2λ2 + 3λ + 4 .
14. 设 X1, X2, · · · , Xn 为来自总体 N (µ, σ2) 的简单随机样本, 样本均值 X = 9.5, 参数 µ 的置信度为 0.95 的双侧置信区间的置信上限为 10.8, 则 µ 的置信度为 0.95 的双侧 置信区间为 (8.2, 10.8) .
2016 年全国硕士研究生入学统一考试
数 学（一） 试 题 及 解 答
本文档仅供学习交流之用. 试题来源于网络, 解答由孟庆鑫提供, 个人观点仅供参考.
一、选择题：1 ∼ 8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个
选项是符合题目要求的.
ˆ +∞ 1. 若反常积分
1
dx 收敛, 则
[C ]
0 xa(1 + x)b
(A) a < 1 且 b > 1.
(B) a > 1 且 b > 1.
(C) a < 1 且 a + b > 1.
(D) a > 1 且 a + b > 1.
2.
已知函数
f
(x)
=
2(x − lnx,
1),
x < 1, 则 f (x) 的一个原函数是 x ⩾ 1,
[D]
(x − 1)2, x < 1, (A) F (x) = x(lnx − 1), x ⩾ 1.
(x − 1)2,
x < 1,
(C) F (x) = x(lnx + 1) + 1, x ⩾ 1.
(x − 1)2,
x < 1,
(B) F (x) = x(lnx + 1) − 1, x ⩾ 1.
(x − 1)2,