全等三角形一、全等三角形1、定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
特征：形状相同、大小相等、完全重合。
一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
平移、翻折、旋转前后的图形全等。
2、全等三角形的表示：“全等”用“≌”表示，“∽”表示两图形的形状相同，“=”表示大小相等，读作“全等于”。
注意：记两三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。
全等三角形的对应元素：对应顶点，对应边，对应角3、全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
4、全等三角形的判定（1）边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”）（2）边角边：两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”）（3（4（551、2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意的问题（1）要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；（2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”。
FE DCBA1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．３．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB=DE ，AC=DF ，BE=CF ．求证∠A=∠D ．４．已知，如图，AB=AD ，DC=CB ．求证：∠B=∠D.５．如图，AD ＝BC ，AB ＝DC ，DE ＝BF. 求证：BE ＝DF.CA A C E AD C B1．如图，AC 和BD 相交于点O ，OA=OC ，OB=OD ．求证DC ∥AB ．2．如图，△ABC ≌△A B C '''，AD ，A D ''分别是△ABC ，△A B C '''的对应边上的中线，AD 与A D ''有什么关系？证明你的结论．3．如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论．4．已知：如图，AD ∥BC ，AD=CB ，求证：△ADC ≌△CBA ．5．已知：如图AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF 。
求证：△AFD ≌△CEB ．6．已知，如图，AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2。
求证：△ABD ≌△ACE ．7．已知：如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB ∥DE ，且AB=DE ，BE=CF. 求证：AC ∥DF ．ACEDBAEBC FD A BC D 2 A C BE D1H FE D C B A8．已知：如图，AD 是BC 上的中线，且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．9．如图，在△ABC 中，分别延长中线BE 、CD 至F 、H ，使EF ＝BE ，DH ＝CD ，连结AF 、AH ． 求证：（1）AF ＝AH ；（2）点A 、F 、H 三点在同一直线上； （3）HF ∥BC.10．如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ，直线EF 交AC 于F ，交AB 于E ，交BC 的延长线于D ，连结AD 、BF ，CF ＝CD. 求证：BF ＝AD ，BF ⊥AD.11．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．（提示：首先分清已知和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证）12．证明：如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．A B E F13.已知：如图，正方形ABCD，BE=CF，求证：(1)AE=BF；（2）AE⊥BF.14．已知：E是正方形ABCD的边长AD上一点，BF平分∠EBC，交CD于F，求证BE=AE+CF.（提示：旋转构造等腰）15.如图，△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=900. （1）判断CD与BE有怎样的数量关系；（2）探索DC与BE的夹角的大小；（3）取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的位置关系. A DEFGFEDCABA B CDEF （三）（四） 三角形全等的判定三、四（ASA 、AAS ）1．如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，FB=CE ，AB ∥ED ，AC ∥FD ．求证AB=DE ，AC=DF ．2．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD=2.5cm ，DE=1.7cm ． 求BE 的长．3．已知，D 是△ABC 的边AB 上的一点，DE 交AC 于点E ，DE=FE ，FC ∥AB. 求证：AE=CE.4．已知：如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ．求证：△ABD ≌△CDB.5．如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，CE ⊥AB 于E ，AF 平分∠CAB 交CE 于点F ，过F 作FD ∥BC 交AB 于点D. 求证：AC ＝AD.A D BC F EA B C DEP QN M6．如图，AD ∥BC ，AB ∥DC ，MN ＝PQ. 求证：DE ＝BE.7．如图, 在ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分B ，DE ⊥BC 于E ，且BE ＝EC.（1）求∠ABC 与∠C 的度数； （2）求证：BC ＝2AB.8．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 上一点，且AE 、BE 分别平分∠BAD 、∠ABC. （1）求证：AE ⊥BE ；（2）求证：E 是CD 的中点； （3）求证：AD+BC=AB.9．已知，如图Rt △ABC ，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，D 为垂足，∠ABD 的平分线交AD 于E 点，EF ∥AC ，求证：AE=EF.C E AD ABC ED F10．△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90°，AB=AC.（1）若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：DM ＝DN.（2）若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N. 问DM 和DN 有何数量关系？11．已知：C 点的坐标为（4，4），A 为y 轴负半轴上一动点，连CA ，CB ⊥CA 交x 轴于B.（1）求证：CA ＝CB ；（2）问OB －OA 是否为定值，是定值并求其定值.12．已知A （－4，0），B （0，4），C （0，－4），过O 作OM ⊥ON 分别交AB 、AC 于M 、N 两点。
（1）求证：OM ＝ON ；（2）连MN ，MN 交x 轴于Q ，若M 点的纵坐标为3，求M 与N 的坐标。
M N D C BAMN D CBA（五） 三角形全等的判定五（HL ）1．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高．求证：(1)BD=CD ；(2)∠BAD ＝∠CAD ．2．如图，AC ⊥CB ，DB ⊥CB ，AB ＝DC ．求证：∠ABD ＝∠ACD ．3．已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE BF =． 求证：（1）AF CE =；（2）AB CD ∥．4．如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB=DC ，求证：EB=FC5．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，BE=CF ． 求证：AD 是△ABC 的角平分线．AA C A D E C BF（六）角的平分线的性质1．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB=OC．求证∠1=∠2．2．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E．F是OC 上的另一点，连接DF，EF．求证DF=EF．3．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．求证：AD是△ABC的角平分线．4．如图，在ABC中，∠A＝90°，BD平分B，DE⊥BC于E，且BE＝EC.（1）求∠ABC与∠C的度数；（2）求证：BC＝2AB.O E DCB A（七）倍长中线法与截长补短法1．在△ABC 中，AB=5，AC=3，AD 为BC 边的中线，则AD 的长l 的取值范围是（ ）.A.1<l <4B.3<l <5C.2<l <3D.0<l <52．AD 是△ABC 中BC 边上的中线，AB=4，AC=6，则AD 的取值范围是 . 3．如图，△ABD 和△ACE 是△ABC 外两个等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=900. （1）判断CD 与BE 有怎样的数量关系； （2）探索DC 与BE 的夹角的大小；（3）取BC 的中点M ，连MA ，探讨MA 与DE 的位置关系.4．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 上一点，且AE 、BE 分别平分∠BAD 、∠ABC. （1）求证：AE ⊥BE ；（2）求证：E 是CD 的中点；（3）求证：AD+BC=AB.5．如图△ABC 中，∠A=500，AB>AC ，D 、E 分别在AB 、AC 上，且BD=CE,∠BCD=∠CBE ，BE 、CD 相交于O 点，求∠BOC 的度数.6．△ABC 中，D 是BC 中点，DE ⊥DF ，E 在AB 边上，F 在AC 边上，判断并证明BE+CF 与EF 的大小？.C EA DABCDEF7．已知：如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠1=∠2， 求证：BC=AB+AD ． （分别用截长法和补短法各证一次）8．已知，如图，在正方形ABCD 中AB=AD ，∠B ＝∠D ＝90°． （1）如果BE ＋DF ＝EF ，求证：①∠EAF ＝45°；②FA 平分∠DFE ．（2）如果∠EAF ＝45°，求证：①BE ＋DF ＝EF ．②FA 平分∠DFE ．（3）如果点F 在DC 的延长线上，点E 在CB 的延长线上，且DF －BE ＝EF ，求证：①∠EAF ＝45°；②FA 平分∠DFE ．（画图并证明）ABCDEFA 2 1CBDOF EDCB A EDC BA MEDCBADAABDEF（八） 全等三角形检测一、选择题：1.在△ABC 、△DEF 中如果∠C=∠D ，∠B=∠E ，要使△ABC ≌△FED ，还需要的条件是（ ） A.AB=ED B.AB=FD C.AC=FD D.∠A=∠F2.如图：AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点O ，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F 点，那么图中全等三角形共有（ ） A.5对 B.6对 C.7对 D.8对3.如图，D 在AB 上，E 在AC 上且∠B=∠C,那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE ≌△ACD 的是（ ）A.AD=AEB.∠AEB=∠ADCC.BE=CDD.AB=AC4.如图：某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现有要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去 5.下列说法中，正确的个数是（ ）①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；②两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等；③两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；④有两边相等的直角三角形全等；⑤腰和一个角分别对应相等的两等腰三角形全等。