F ECBA北京市朝阳区2014年中考数学二模试题一、选择题(本题共32分,每小题4分)1.2014北京车展约850 000的客流量再度刷新历史纪录,将850 000用科学记数法表示应为A .85×106B .8.5×106C .85×104D .8.5×1052.23-的倒数是( )A .32-B .23-C .32 D .233.一个多边形的内角和是外角和的3倍,则这个多边形的边数为A .6B .7C .8D .9 4.数据1,3,3,1,7,3 的平均数和方差分别为 A .2和4B .2和16C .3和4D .3和245.若关于x 的一元二次方程mx 2+3x +m 2-2m =0有一个根为0,则m 的值等于 A .1 B .2 C .0或2 D .0 6.如图,A 、B 两点被池塘隔开,在AB 外取一点C ,连结AC 、BC ,在AC 上取点E ,使AE =3EC ,作EF ∥AB 交BC 于点F ,量得EF =6 m ,则AB 的长为A .30 mB .24mC .18mD .12m7.在一个不透明的口袋中,装有3个相同的球,它们分别写有数字1,2,3,从中随机摸出一个球,若摸出的球上的数字为2的概率记为P 1,摸出的球上的数字小于4的概率记为P 2;摸出的球上的数字为5的概率记为P 3.则P 1、P 2、P 3的大小关系是A .P 1<P 2<P 3B .P 3<P 2<P 1C .P 2<P 1 <P 3D .P 3<P 1<P 2 8.如图,在三角形纸片ABC 中,∠ABC =90°,AB =5,BC =13,过点A 作直线l ∥BC ,折叠三角形纸片ABC ,使点B 落在直线l 上的点P 处,折痕为MN ,当点P 在直线l 上移动时,折痕的端点M 、N 也随着移动,并限定M 、N 分别在AB 、BC 边上(包括端点)移动,若设AP 的长为x ,MN 的长为y ,则下列选项,能表示y 与x 之间的函数关系的大致图象是N M B二、填空题(本题共16分,每小题4分) 9.若分式41-+x x 值为0,则x 的值为________. 10.请写出一个多边形,使它满足“绕着某一个点旋转180°,旋转后的图形与原来的图形重合”这一条件,这个多边形可以是 .11.如图,菱形ABCD 的周长为16,∠C =120°,E 、F 分别为AB 、AD 的中点.则EF 的长为 .12.把长与宽之比为2的矩形纸片称为标准纸.如果将一张标准纸ABCD进行如下操作:即将纸片对折并沿折痕剪开,则每一次所得到的两个矩形纸片都是标准纸(每一次的折痕如下图中的虚线所示).若宽AB =1,则第2次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是_________;第3次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是_________;第30次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是_________.三、解答题(本题共30分,每小题5分)13.已知:如图,点E 、F 在AC 上,且AE =CF ,AD ∥BC ,AD =CB .求证: DF =BE .14.计算:︒+-+--30tan 220145310.15.解分式方程:xx x -=+--23123 .第一次第二次第三次…16.已知50x y -=,求222232x y x yx xy y x y-+⋅-++的值.17.列方程或方程组解应用题:母亲节来临之际,小红去花店为自己的母亲选购鲜花,在花店中同一种鲜花每支的价格相同.小红如果选择由三支康乃馨和两支百合组成的一束花,则需要花34元;如果选择由两支康乃馨和三支百合组成的一束花,则需要花36元.一支康乃馨和一支百合花的价格分别是多少?18.已知关于x 的一元二次方程3x 2-6x +1-k =0 有实数根,k 为负整数. (1)求k 的值;(2)若此方程有两个整数根,求此方程的根.四、解答题(本题共20分,每小题5分)19.如图,在四边形ABCD 中,AB =34,∠DAB =90°,∠B =60°,AC ⊥BC .(1)求AC 的长.(2)若AD=2,求CD 的长.20.某校对部分初三学生的体育训练成绩进行了随机抽测,并绘制了如下的统计图:女生篮球障碍运球成绩折线统计图 男生引体向上成绩条形统计图根据以上统计图解答下列问题:(1)所抽测的女生篮球障碍运球成绩的众数是多少?极差是多少?(2)该校所在城市规定“初中毕业升学体育现场考试”中,男生做引体向上满13次,可以获得满分10分;满12次,可以获9.5分;满11次,可以获得9分;满10次,可以获得8.5分;满9次,可以获得8分. ①所抽测的男生引体向上得分..的平均数是多少? ②如果该校今年有120名男生在初中毕业升学体育现场考试中报名做引体向上,请你根据本次抽测的数据估计在报名的这些学生中得分不少于9分的学生有多少人?21.如图,AB 是⊙O 的直径, BC 交⊙O 于点D ,E 是»BD的中点,连接AE 交BC 于点F ,∠ACB =2∠EAB . (1)求证:AC 是⊙O 的切线; (2)若2cos 3C,AC =6,求BF 的长.22.类似于平面直角坐标系,如图1,在平面内,如果原点重合的两条数轴不垂直,那么我们称这样的坐标系为斜坐标系.若P 是斜坐标系xOy 中的任意一点,过点P 分别作两坐标轴的平行线,与x 轴、y 轴交于点M 、N ,如果M 、N 在x 轴、y 轴上分别对应的实数是a 、b ,这时点P 的坐标为(a ,b ).(1)如图2,在斜坐标系xOy 中,画出点A (-2,3);(2)如图3,在斜坐标系xOy 中,已知点B (5,0)、C (0,4),且P (x ,y )是线段CB 上的任意一点,则y 与 x 之间的等量关系式为 ;(3)若(2)中的点P 在线段CB 的延长线上,其它条件都不变,试判断(2)中的结论是否仍然成立,并说明理由.五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)23.在平面直角坐标系xOy 中,点P (m ,0)为x 轴正半轴上的一点,过点P 做x 轴的垂线,分别交抛物线y =-x 2+2x 和y =-x 2+3x 于点M ,N .(图1)xPy NOM(图2)x-1y1O 1(图3)P (x ,y )CB OxyF OADBC(1)当21=m 时, _____MN PM =;(2)如果点P 不在这两条抛物线中的任何一条上.当四条线段OP ,PM ,.PN ,MN 中恰好有三条线段相等时, 求m 的值.24. 已知∠ABC =90°,D 是直线AB 上的点,AD =BC .(1)如图1,过点A 作AF ⊥AB ,并截取AF =BD ,连接DC 、DF 、CF ,判断△CDF 的形状并证明; (2)如图2,E 是直线BC 上的一点,直线AE 、CD 相交于点P ,25.如图,在平面直角坐标系中xOy ,二次函数y =ax 2-2ax +3的图象与x 轴分别交于点A 、B ,与y 轴交于点C ,AB =4,动点P 从B 点出发,沿x 轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P 点作PQ 垂直于直线BC ,垂足为Q .设P 点移动的时间为t 秒(t >0),△BPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S . (1)求这个二次函数的关系式; (2)求S 与t 的函数关系式;(3)将△BPQ 绕点P 逆时针旋转90°,当旋转后的△BPQ 与二次函数的图象有公共点时,求t 的取值范围(直接写出结果).P EC 图2 C B 图1 yxN MOPy x A C B O数学试卷参考答案及评分标准 2014.6一、选择题(本题共32分,每小题4分)1.D 2.A 3.C 4.C 5.B 6.B 7.D 8.C二、填空题(本题共16分,每小题4分)9.-1 10.答案不唯一,如平行四边形 11.2312.1+2,222+,14122+ (第1、2每个空各1分,第3个空2分) 三、解答题(本题共30分,每小题5分) 13. 证明:∵ AE =CF ,∴ AE +EF =CF +EF .即 AF =CE .…………………… 1分 ∵ AD ∥BC ,∴ ∠A =∠C .…………………… 2分 又∵AD =BC ,…………………… 3分 ∴ △ADF ≌△CBE .…………… 4分 ∴ DF =BE .……………………… 5分14. 解:原式13531323=-+-+? ………………………………………… 4分 =112. …………………………………………………………………… 5分 15. 解:将方程整理,得331022x x x -++=--. 去分母,得 x -3+3+x -2 = 0. ……………………………………………2分解得 x = 1. (3)分经检验 x = 1是原分式方程的解. ………………………………………………4 分∴原分式方程的解为x = 1. …………………………………………………………5 分16. 解:原式=2()()3()x y x y x yx y x y+-+⋅-+ ……………………………………………2 分 =3x yx y+-. …………………………………………………………3 分 ∵ x -5y =0,∴ x =5y . …………………………………………………………………4分 ∴ 原式=5325y yy y+=-.…………………………………………………………5分17. 解:设一支康乃馨的价格是x 元,一支百合的价格是y 元. …………………1分根据题意,得 3234,2336.x y x y ì+=ïí+=ïî ……………………………………………3分解得 6,8.x y ì=ïí=ïî ……………………………………………………4分答:一支康乃馨的价格是6元,一支百合的价格是8元.………… …………5分18. 解:(1)根据题意,得Δ≥0.………………………………………………………………………1分即26-)(-4×3(1-k )≥0.解得 k ≥-2 .………………………………………………………………2分 ∵k 为负整数,∴k =-1,-2.………………………………………………………………3分 (2)当k =-1时,不符合题意,舍去;…………………………………………4分当k =-2时,符合题意,此时方程的根为x 1=x 2=1.……………………5分四、解答题(本题共20分,题每小题5分) 19.解:(1)在Rt△ABC 中,∵AB =34,∠B =60°,∴AC =AB ·sin60°=6. …………………………2分(2)作DE ⊥AC 于点E ,∵∠DAB =90°,∠BAC =30°, ∴∠DAE =60°, ∵AD =2,∴DE =3.…………………………3分 AE=1. ∵AC =6,∴CE =5. ……………………………4分 ∴在Rt△DEC 中,22CE DE CD +=.∴72=CD .………………………5分20.解:(1)14.5, 3.4;………………………………………………………………2分 (2)①818.52949.5610712467⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++++=9.4(分);………………………4分② 120×46710220++=(人) …………….…………………………………5分估计在报名的学生中有102人得分不少于9分.21. (1)证明:如图①,连接AD .A∵ E是»BD的中点,∴»»DE BE=.∴ ∠DAE=∠EAB.∵ ∠C=2∠EAB,∴∠C=∠BAD.∵ AB是⊙O的直径,∴ ∠ADB=∠ADC=90°.∴ ∠C+∠CAD=90°.∴ ∠BAD+∠CAD=90°.即BA⊥AC.∴ AC是⊙O的切线.………………………2分(2)解:如图②,过点F做FH⊥AB于点H.∵ AD⊥BD,∠DAE=∠EAB,∴ FH=FD,且FH∥AC.在Rt△ADC中,∵2cos3C=,AC=6,∴ CD=4.…………………………………………………3分同理,在Rt△BAC中,可求得BC=9.∴ BD=5.设DF=x,则FH=x,BF=5-x.∵ FH∥AC,∴ ∠BFH=∠C.∴2 cos3FHBFHBF∠==.即253xx=-.………………………………………………4分解得x=2.∴ BF=3.…………………………………………………5分22. 解:(1)如图H FOAD B图②……………………………………………………1分(2)445y x =-+;……………………………………………………………………………………………………3分(3)当点P 在线段CB 的延长线上时,(2)中结论仍然成立.理由如下:过点P 分别作两坐标轴的平行线,与x 轴、y 轴分别交于点M 、N , 则四边形ONPM 为平行四边形,且PN=x ,PM=-y .∴ OM =x ,BM =5-x .∵PM ∥OC ,∴ △PMB ∽△COB .…………4分∴PM BMOC OB =, 即545y x --=. ∴445y x =-+.……………………………………………………………………5分五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分) 23. 解:(1)1;………………………………………………………………………………1分 (2)∵ OP =m ,MN =(-m 2+3m )-(-m 2+2m ) =m ,∴ OP =MN .…………………………………………………………………………2分 ①当0<m <2时,∵PM =-m 2+2m , PN =-m 2+3m .∴若PM= OP=MN ,有-m 2+2m =m ,解得m =0,m =1(舍). ……………3分 若PN= OP=MN ,有-m 2+3m =m ,解得m =0(舍),m =2(舍). ……………4分 ②当2<m <3时,不存在符合条件的m 值. ……………………………………5分 ③当m >3时,∵PM =m 2-2m , PN =m 2-3m .∴若PM= OP=MN ,有m 2-2m =m ,解得m =0(舍),m =3(舍). ……………6分 若PN= OP=MN ,有m 2-3m =m ,解得m =0(舍),m =4. …………………7分 综上,当 m =1或m =4,这四条线段中恰有三条线段相等.24. 解:(1)△CDF 是等腰直角三角形 .………………1分 证明:∵∠ABC =90°,AF ⊥AB , ∴∠FAD =∠DBC . ∵AD =BC ,AF =BD ,∴△FAD ≌△DBC .∴FD =DC .…………………………………………2分 ∠1=∠2. ∵∠1+∠3=90°, ∴∠2+∠3=90°.即∠CDF =90°. ……………………………………3分 ∴△CDF 是等腰直角三角形.(2)过点A 作AF ⊥AB ,并截取AF =BD ,连接DF 、CF .…………………………4分 ∵∠ABC =90°,AF ⊥AB , ∴∠FAD =∠DBC . ∵AD =BC ,AF =BD ,∴△FAD ≌△DBC . ∴FD =DC ,∠1=∠2. ∵∠1+∠3=90°, ∴∠2+∠3=90°. 即∠CDF =90°.∴△CDF 是等腰直角三角形.………………………………………………………5分 ∴∠FCD =∠APD =45°. ∴FC ∥AE .∵∠ABC =90°,AF ⊥AB , ∴AF ∥CE .∴四边形AFCE 是平行四边形. …………………………………………………6分 ∴AF =CE .312CB 132FPECB∴BD =CE .……………………………………………………………………………7分25. 解:(1)由y =ax 2-2ax +3可得抛物线的对称轴为x =1.…………………1分∵AB =4,∴A (-1,0),B (3,0).∴a =-1.∴y =-x 2+2x +3. ………………………………………………………2分(2)由题意可知,BP =t ,∵B (3,0),C (0,3),∴OB =OC .∴∠PBQ =45°.∵PQ ⊥BC , ∴PQ =QB=22t . ① 当0<t ≤4时,S =PBQ S ∆=14t 2 .……………………………………………3分 ② 当4<t <6时,设PQ 与AC 交于点D ,作DE ⊥AB 于点E ,则DE =PE .∵tan∠DAE =DE OC AE OA==3. ∴DE =PE =3AE =32PA . ∵PA =t -4,∴DE =34)2t -(. ∴23612.4PAD S t t =-+△ ………………4分 ∵PBQ PAD S S S =-△△, ∴216122S t t =-+-. …………………………………………………5分 ③ 当t ≥6时,S =ABC S ∆=6 . ……………………………………………6分 综上所述, 2? 2? 1(0441612(4626(6t t S t t t t ⎧⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪≥⎪⎩<≤)<<) ) (3)229≤t ≤4.…………………………………………………………………8分y x E D Q P A C B O说明:各解答题其它正确解法请参照给分.。