函数的奇偶性例题解析
［例1］判断下列函数的奇偶性.
(1)f (x )=|x |(x 2+1)；
(2)f (x )=x
x 1+； (3)f (x )=x x -+
-22； (4)f (x )=1122-++-x x 。

选题意图：本题主要考查函数的奇偶性的概念，利用定义判断或证明函数的奇偶性的方法.
解：(1)此函数的定义域为R.
∵f (-x )=|-x |［(-x )2+1］=|x |(x 2+1)=f (x ),
∴f (-x )=f (x ),即f (x )是偶函数.
(2)此函数的定义域为x ＞0，由于定义域关于原点不对称，故f (x )既不是奇函数也不是偶函数.
(3)此函数的定义域为｛2｝，由于定义域关于原点不对称，故f (x )既不是奇函数也不是偶函数.
(4)此函数的定义域为｛1，-1｝，且f (x )=0,可知图象既关于原点对称、又关于y 轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数.
点评：用定义判断函数的奇偶性的步骤是：定义域(关于原点对称)→验证f (-x )=±f (x )→下结论，还可以利用图象法或定义的等价命题f (-x )±f (x )=0或
)
()(x f x f -=1±（f (x )≠０）来判断.
［例2］设f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈［0，＋∞）时，f (x )=x (1+3x ),那么当x ∈(-∞，0)时，求f (x )解析式.
选题意图：本题考查函数的奇偶性，利用奇偶性质求某区间未知解析式的方法. 解：∵f (x )是奇函数，
∴当x ＜0时，-x ＞0.
由已知f (-x )=-x (1+3x -),
-f (x )=-x (1-3x ),
∴f (x )=x (1-3x ) (x ＜0)，
∴f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧-∞∈-+∞∈+).
0,()1(),0[)1(33x x x x x x 点评：解决本题的关键是利用奇函数的关系式f (-x )=-f (x )成立，但要注意求给定哪个区间上的解析式就设这个区间上的变量x ，然后把x 转化为-x 为另一已知区间上的解析式中的变量，通过互化，求得所求区间上的解析式.
［例3］已知函数f (x )为奇函数，且在(-2，2)上单调递增，且有f (2+a )+f (1-2a )＞0，求a 的取值范围.
选题意图：本题考查利用函数的奇偶性，单调性求解参数的范围，是函数奇偶性及单调性的逆用，培养学生的逆向思维.
解：因为函数f (x )为奇函数，则f (-x )＝-f (x ).
由f (2+a )+f (1-2a )＞0得
f (2+a )＞-f (1-2a )即f (2+a )＞f (2a -1).
又因为f (x )在(-2，2)上单调递增，得：
⎪⎩
⎪⎨⎧-+--+-1222122222a a a a 解得-21＜a ＜0, 因此，a 的取值范围为a ∈(-2
1,0). 点评：判断出2+a ,2a -1∈（－２，２），对本题的解决起到很关键的作用，否则只考虑2+a ＞２ａ－１是不够的.一般来f (x )为奇函数，由-f (1-2a )=f (2a -1)，则得到f (2+a )＞f (2a -1)得到更直接关系，应考虑到前提条件-2＜２＋ａ＜２，－２＜２ａ－１＜２，2+a ＞２ａ－１取三个不等式的交集，为所求a 的取值范围.。