函数的基本性质
函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性
一、单调性
1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。

2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。

（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。

）
3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2
)()0(≠a ， 当0>a 时函数)(x f 在对称轴a
b x 2-
=的左侧单调减小，右侧单调增加； 当0<a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2-=的左侧单调增加，右侧单调减小； 例1：讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。

4．证明方法和步骤：
⑴设元：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <；
⑵作差：)()(21x f x f -；
⑶变形：（如因式分解、配方等）；
⑷定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或；
⑸根据定义下结论。

例2、判断函数1
2)(-+=
x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明.
5．复合函数的单调性：复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。

例3：函数322-+=x x y 的单调减区间是 （ ）
A.]3,(--∞
B.),1[+∞-
C.]1,(--∞
D.),1[+∞
6．函数的单调性的应用：
判断函数)(x f y =的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。

例4：求函数1
2-=
x y 在区间]6,2[上的最大值和最小值.
二、奇偶性
1．定义：
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f =-，那么函数f(x)就叫偶函数；
（等价于：0)()()()(=--⇔=-x f x f x f x f ）
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f -=-，那么函数f(x)就叫奇函数。

（等价于：0)()()()(=+-⇔-=-x f x f x f x f ）
注意：当0)(≠x f 时，也可用1)
()(±=-x f x f 来判断。

2．奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。

若函数)(x f 为奇函数，且在x=0处有定义，则0)0(=f ；
3．判断一个函数的奇偶性的步骤
⑴先求定义域，看是否关于原点对称; ⑵再判断)()(x f x f -=-或)()(x f x f =- 是否恒成立。

4．奇偶函数图象的性质
奇函数的图象关于原点对称。

反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。

偶函数的图象关于y 轴对称。

反过来,如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数为偶函数。

5．常用结论：(1)奇偶性满足下列性质：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。

(2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。

例4：判断函数2
21)(2
-+-=x x x f 的奇偶性。

分析：解此题的步骤（1）求函数的定义域；（2）化简函数表达式；（3）判断函数的奇偶性
针对性练习：
1、判断下列各函数是否具有奇偶性
⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2
432)(x x x f += ⑶、1
)(2
3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-=
2、判断函数⎩
⎨⎧<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。

.
)(),()()()()()(,0,0)
()()(,0,0)
(0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-==
3、已知8)(3
5-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f （利用奇偶性求函数值）
4、已知偶函数)(x f 在()0,∞-上为减函数，比较)5(-f ，)1(f ，)3(f 的大小。

（利用奇偶性比较大小）
5、已知)(x f 为偶函数时当时当01,1)(,10<≤--=≤≤x x x f x ，求)(x f 的解析式？（利用奇偶性求解析式）
6、若3)3()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，讨论函数)(x f 的单调区间？（利用奇偶性讨论函数的单调性）
7、已知函数)0()(23≠++=a cx bx ax x f 是偶函数，判断cx bx ax x g ++=23)(的奇偶性。

（利用奇偶性判断函数的奇偶性）
8、定义在R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞是单调递减，若)123()12(22+-<++a a f a a f ，则a 的取值范围是如何？（利用奇偶性求参数的值）
9、（2004.上海理）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]
时, f(x)的图象如右图,则不等式x ()0<x f 的解
是 . （利用图像解题）
10、已知函数1().21
x f x a =-
+，若()f x 为奇函数，则a =________。

（利用定义解题）
函数的周期性与对称性
◆函数的轴对称
定理1：函数()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2
b a x +=对称. 推论1：函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. 推论2：函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.
◆函数的周期性
定理2：函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()T x f x f +=，则()x f 是以T 为周期的周期函数； 推论1：函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()b x f a x f +=+，则()x f 是以（a －b ）为周期的周期函数；
推论2：下列条件都是以2T 为周期的周期函数：
1、()()x f T x f -=+；
2、()()x f T x f 1=+ ；
3、()()f x T f x T +=-；
4、)
(1)(x f T x f -=+； 5、1)(1)()(-+=+x f x f T x f ；6、)
(1)(1)(x f x f T x f +-=+． ◆函数的点对称
定理3：函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对称.
推论1：函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称. 推论2：函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.
（总结：同号看周期，异号看对称）
针对性练习：
1、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足0)2()(=-+x f x f ，则)(x f y =图象关于________对称。

2、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=-，则)(x f y =图象关于________对称。

3、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=+，则)1(+=x f y 图象关于______对称,)(x f y =图象关于__________对称。

4、已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=）
，且当[0,2)x ∈时，x x f =)(，则(2008)(2009)f f -+的值为（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
5、已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( )
A.(25)(11)(80)f f f -<<
B.(80)(11)(25)f f f <<-
C.(11)(80)(25)f f f <<-
D.(25)(80)(11)f f f -<<
6、设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(0,3)内单调递减，且()y f x =的图像关于直线3x =对称，则下面正确的结论是 （ ）
A.(1.5)(3.5)(6.5)f f f <<
B.(3.5)(1.5)(6.5)f f f <<
C.(6.5)(3.5)(1.5)f f f <<
D.(3.5)(6.5)(1.5)f f f <<。