证明 已知系统的开环零点和极点分别为
z1 2 p1 1 j1 ， p 2 1 j1，令s=u+jv为根轨迹的任一点， 由相角条件可得
(s z1 ) (s p1 ) (s p 2 ) 180 z1 、p1 和 p 2 代入得 将 s、
(u 2 jv) (u 1 j( v 1) (u 1 j( v 1)) 180
*
求导
(4)
观察(3)和(4)，满足(3)的s值必满足(4)，所以 分离点也可以由（4）得到。
j 1 j i
n

z j zi
z j p j zi ( j 代入闭环特征方程，令方程两 边实部和虚部分别相等，求出 。
以上七条规则是绘制根轨迹图所必须遵循的基 本规则。此外，尚须注意以下几点规范画法。 ⑴根轨迹的起点（开环极点 p) ”标 i 用符号“ z j ) 用符号“ o ” 标示。 示；根轨迹的终点 ( 开环零点 ⑵根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益 值K* 的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的 方向。 ⑶ 要标出一些特殊点的 值，如起点（ )， K* * 终点 ) ；K根 轨 K *（ 0 迹在实轴上的分离点d * * * K * ) K ω K K ( ；与虚轴的交点 （ ）。还有 c d c 一些要求标出的闭环极点 s 及其对应的开环根轨迹 1 增益 K ，也应在根轨迹图上标出，以便于进行系统 1 的分析与综合。
π 45 4
3π a 135 4
5π a 135 4 7π a 45 4
⑸由规则五可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。 分离点方程是
d [( s ( s 2)( s 2 2 s 2)] | s d 0 ds
即 d 3 3d 2 3d 1 0 解方程得到
d s2 2s 2 0 ds s 2 s d
d 2 4d 2 0
即
解方程可得
d1 3.414
d2 0.586
d2 0.586 不在实轴上的根轨迹上，舍去，实际
的分离点为 d1 。 ⑸由规则六，可求出开环复数极点（根轨迹的起 点）的起始角。
将上式等号两边取正切，则有
v 2 v(u 1) 0 2 2 u 2 (u 1) ( v 1)
u 2 4u 2 v 2 0
(u 2) 2 v 2 ( 2) 2
方程表示在S平面上的根轨迹是一个圆心位于点 (2, j0) 、半径 的圆弧。由此，可画出根轨迹的准确图形如图4-12所示。 2为
2 , 3 2
其中 1 0 是开环极点 p1 对应的坐标值，它是根轨 迹的起点之一。合理的交点应为 c 2,3 2 ，绘 制出该系统的根轨迹图如图4-11所示。
j
K*
[s]
j 2( K* c 6)
60°
* P 1 K 0
K*
P3 K* 0 P2 K* 0
(6)无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角。
(7)由规则七，可求出根轨迹与虚轴的交点 c,用s j 代入特征方程并令方程两边实部和虚部分别相等：
j 3 3 2 j 2 K * 0
K * 3 2 j (2 3 ) 0
解虚部方程得 1 0
(5)由规则5知，根轨迹与实轴的交点（分离点）是方程 d s(s 1)(s 2)sd 0 ds 3d 2 6d 2 0 解的合理值， 解得
d1 0.42
d 2 1.58
d 2 1.58 不在实轴的根轨迹上，舍去；实际的分离点 应为 d1 0.42 。
⑷由规则四知，可求出根轨迹三条渐近线的交点位置和 它们与实轴正方向的交角。
pi z j 1 2 a 1 nm 30
2k 1 a nm
当k=0时 当k=1时 当k=2时
a 60 3
a 180
5 a 60 3
s4 3 s s2 s1
1 4 5
20 4 K * 5
6 K* 4
K*
0 0
0
s
0
K*
令劳斯表中s1 行的首项系数为零，求得 K c* 5 ， 2 * 2 由 s 行系数写出辅助方程为 5s K 0
* 5代 入 辅 助 方 程 可 求 令 s j ， 并 将 K * K c 出 c 1 。系统的根轨迹如图4-13所示。
j
p1
d1 3.414
[s] 1
0
K*
-4
d1
P 1 ( K* 0) Z1 ( K* )
-3 -1 -2 P2 ( K * 0)

-1
p2
图4-12 例4-8系统的根轨迹图
由本例不难发现，由两个开环极点（实极
点或复数极点）和一个开环实零点组成的二阶系 统，只要实零点没有位于两个实极点之间，当开 环根轨迹增益 K r 由零变到无穷大时，复平面上 的闭环根轨迹，是以实零点为圆心，以实零点到 分离点的距离为半径的一个圆（当开环极点为两 个实极点时）或圆的一部分（当开环极点为一对 共轭复数极点时）。这个结论在数学上的严格证 明可参照本例进行。
i 1 i j 1
n
m
j
2 k 1 a n m
1 j1 d Z j
m n
nm
k 0,1,2,, n m 1
1 i 1 d Pi
2. 5 在实轴上的分离点
1.6 起始角和终止角

j 1
m j 1 j i
m
z j pi
p j pi pi (2k 1)
2 1.5 1 0.5
j
p3
K c* 5
0
0 –0.5 –1 –1.5 –2 –3 –2
p2 p4
p1
–1
0
1
2

图4-13 例4-9系统的根轨迹图
设开环传函
G (s) H (s) K *
B( s) A( s ) (1) (2) (3)
则特征方程
求导 两式相除 由特征方程得
A( s ) K * B ( s ) 0 A( s ) K * B( s ) 0 A( s ) B( s ) A( s ) B ( s ) 0 A( s ) K B( s) A( s ) B( s ) A( s ) B ( s ) * K B 2 (s)
例4-7 已知系统的开环传递函数为
K* G( s) H ( s) s( s 1)( s 2)
试绘制该系统完整的根轨迹图。
解:(1)根轨迹的起点是该系统的三个开环极点， 即 P1=0,P2=-1,P3=-2,由于没有开环零点（ m=0） , 三条根轨迹的终点均在无穷远处。 3 2 * (2)该系统的特征方程为 s 3s 2s K 0 这是一个三阶系统，该系统有三条根轨迹在s平面 上。三条根轨迹连续且对称于实轴。 (3) 由规则三知，实轴上的根轨迹为实轴上 P1 到P2的线段和由P3至实轴上负无穷远线段。
d 1
⑹由规则六可求出复数极点 p 3 和 p 4 的起始角
180 (p 3 p1 ) (p 3 p 2 ) (p 3 p 4 ) p 3 180 135 45 90 90 p 4 p3 90
⑺ 该系统为4阶系统，用解析法求根轨迹与虚轴的 * 交点 c 和对应的开环根轨迹增益的临界值 K c 比较困 * 难。下面采用劳斯判据求出 c 和 K c 的值。 根据系统的特征方程列出劳斯表如下：
(4) 由规则四可求出 4 条根轨迹渐近线与实轴的交点 为 pi z j 2 1 j 1 j a 1 nm 40 渐近线与实轴正方向的交角为
2 k 1 a π n m
a
当k = 0时， 当k = 1时， 当k = 2时， 当k = 3时，
三、绘制根轨迹图示例
七条绘制规则：
1 起点与终点：起始于开环极点，终止于开 环零点； 2 分支数、连续性、对称性：分支数等于系 统特征方程的阶数，根轨迹连续且对称于实轴。 3 实轴上的根轨迹：实轴上某线段右侧的开 环零、极点的个数之和为奇数，则该线段是实轴 上的根轨迹；
1. 4 渐近线
a
p z
p1 180 (p1 z1 ) (p1 p 2 ) 180 45 90 135 p 2 p1 135
⑹为准确地画出 S平面上根轨迹的图形，运用相角条 件可证明本系统在S平面上的根轨迹是一个半径 为 2 ，圆心位于点 ( 2, j0) 的圆弧。
-2
-1
d1
0
60°

j 2( K* c 6)
K*
图4-11 例4-7系统根轨迹图
例4-8
已知系统的开环传递函数为
K * ( s 2) G( s) H ( s) 2 s 2s 2
试绘制该系统的根轨迹图。 解(1)由开环传递函数可知，该系统有一个开环实零点 z1 2 和一对开环共轭复数极点 p1,2 1 j ,根轨迹的 起点为 p1 ( K * 0) 和 p2 ( K * 0) ，其终点为 z1 ( K * ) 和无 穷远点 ( K * ) 。 (2)是一个二阶系统，在S平面上有两条连续且对称于实 轴的根轨迹。 (3)由规则三知，实轴上由-2至-∞的线段为实轴上的根 轨迹。 ⑷由规则五，可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。 分离点方程是
将上例与图例比较
例4-9 已知系统的开环传递函数为
K* G( s) H ( s) s( s 2)( s 2 2s 2)
试绘制该系统的根轨迹图。 解 ⑴由规则一知，根轨迹的起点分别是系统的4个开 环极点,即 p1 0 p2 2 ， p3, 4 1 j1 。由于系 统无有限开环零点（m=0），根轨迹的终点均在S平面的无 穷远处（无穷零点）。 ⑵由已知系统的开环传递函数可得到它的特征方程为 s 4 4s 3 6s 2 4s K * 0 由规则二知，该系统的根轨迹共有4条分支（n=4），4条根 轨迹连续且对称于实轴。 ⑶由规则三知，实轴上的根轨迹是实轴上由0到-2的线 段。