第四讲 行列式习题课
一．主要内容 1．本章知识结构
１ 全排列
把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列（或排列）． n 个不同的元素的所有排列的种数用n P 表示，且!n P n =。

２ 逆序数
在一个排列()n s t i i i i i 21中，若数s t i i >，则称这两个数组成一个逆序． 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数．
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列． 3 对 换
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．
定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数
4 n 阶行列式的定义
()n
p p p p p p t
nn
n n n n
n n a a a a a a a a a a a a D 2121222211121121211∑-==
.
,,2,1;
;,,2,12121的所有排列取和表示对为这个排列的逆序数的一个排列为自然数其中n t n p p p p p p n n
∑
.,212
1
2121)1(的逆序数为行标排列其中亦可定义为阶行列式p p p t D D n n
n p p p p p p t
a a
a n
n
∑-=
5 n 阶行列式的性质
.D D ,1)T =即式相等行列式与它的转置行列 .),()2行列式变号列互换行列式的两行
.,)()3则此行列式等于零完全相同列如果行列式有两行
. ,)()4乘此行列式等于用数一数中所有的元素都乘以同列行列式的某一行k k . )( )5面以提到行列式符号的外的所有元素的公因子可列行列式中某一行 ., )( )6则此行列式为零元素成比例列行列式中如果有两行
., )( )7列式之和则此行列式等于两个行的元素都是两数之和行若行列式的某一列 .
, )( , )( )8行列式的值不变对应的元素上去行然后加到另一列的各元素乘以同一数行把行列式的某一列6 行列式按行（列）展开 １） 余子式与代数余子式
.
,
1 )1(的代数余子式叫做元素；记
的余子式，记作阶行列式叫做元素
列划去后，留下来的行和第所在的第阶行列式中，把元素在a A M A M a a ij
ij
ij
j
i ij
ij ij
ij n j i n -+=-２）关于代数余子式的重要性质
⎩⎨
⎧≠==⎩⎨⎧≠===⎩⎨
⎧≠===∑∑==.
,0;
,1.
,0;,.
,0;
,11j i j i j i j i D D j i j i D D ij ij
jk n
k ik ij ki n
k ki A a A a 当当其中 当当或
当当δδδ
８ 克拉默法则
如果线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧=+++=+++=+++.
,
,221
12222212111212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n nn n n n n n n 那么它有唯一解的系数行列式,0 ≠D
.,,2,1,n j D
D j
j x ==
.
, ,,2,11的行列式所得到，列换成常数项中第）是把系数行列式
（其中２b b b n j j D n j D =
二．典型例题
1．计算排列的逆序数
例1()()()()()., 132******** 并讨论奇偶性的逆序数求排列k k k k k k +--- 。

2．计算（证明）行列式 （1）用定义计算（证明） 例２ 用行列式定义计算
0000
00
53
52
43
42
35
34
333231
252423
22
2113125
a
a
a a a
a
a a a
a a a a a a a D =
例３ 设
,
2
1
222
21
112111
a
a
a
a a a a a a D
nn
n n n
n
=,2
2
1
1
2222
21
111
12112
a
b
a b
a b
a a
b
a b a b a a D
nn
n n n n n
n
n n
-----=
.2D D =１证明：
（2）利用范德蒙行列式计算
利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。

例４ 计算
.1
1
1
2
2
233
3222n
n n D n
n
n
n
=
（3）用化三角形行列式计算 例５ 计算
.4
32
1
3
2
1
32
1321
1
x
a
a a a a a
x a a a a a x a a a a a x D n
n n n
=+
（4）用降阶法计算 例６ 计算
.4a b c d b a d c c d a b d c b a D = （5）用递推法计算 例7 计算
.2
1
x a a
a
a
x a a a a
x a D
n
n
+++=
（6）用数学归纳法
例8 证明
.cos cos 21
100000cos 21000
1
cos 210001
cos αα
αααn D n ==
3．克拉默法则
当线性方程组方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则．为了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解． 例9 .28)3(,3)2(,0)1(),( =-==f f f x f 使求一个二次多项式
例10 0,0,0 =++=++=++b ay cx a cy bx c by ax 直线证明平面上三条不同的 .0=++c b a 条件是相交于一点的充分必要
《行列式》测试题
一、填空题(每小题3分，共30分)
________;
, .1=-===ij ij n a D a a D 则若_________;,0,, .21
3
2
213
3
21
3321==++x x x x x x x x x q px x x x x 则行列式的三个根是方程设 ____;1
000
00001998000199700
020
01000.3==
D _______;0
0000
00
.44
4
332211
=a b a b b a b a
________;
__________, .5443424144=+++=
A A A A c
d
b a a c
b
d
a d
b c d c b
a D 则设四阶行列式()___;21
1
12 .73的系数是中x x x x
x x x f ---= ________; .8=------a
b
c
d
b a d
c c
d a b d c b a 四阶行列式
,____ .9时且当==b a ;01
0100
=---a b b a
.____ .10121121i i i i i i i i n n n n --次对换后变为排列可经排列
二、计算下列行列式(每小题7分，共49分)．
;011221032101132
22113
13211
.15-----=D ; .2x
z z
z
y x z z y
y x z y
y y x D n
= ;1
0011001
100
1.3d c
b a D ---=
);
0(0
1
001001111 .41
2101
∏=+≠=n
i i n
n x a a a a D ;1
2/)(2/)(2/)(111.5b a c a c b b
a
c
a c
b
c b a
D +++=
;111
1221.6
--=
n n n n D n
n D 2
2
2
2
2
12222
23222222222221.7
-----------=
三、(7分)设行列式n
n
D n 00103010
021321=，求第一行各元素的代数余子式之和
.11211n A A A +++
四、解答题(7分)．
齐次方程组取何值当,,μλ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
200321
321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？
五、证明(7分)．
θ
θ
θ
θθθsin )1sin(cos 21
1cos 21
11
1cos 21
1cos 2+=
=
n D n
；。