半导体中的导电电子浓度和空穴浓度都保持 一个稳定的数值，这种处于热平衡状态下的 导电电子和空穴称为热平衡载流子。
当温度改变时，破坏了原来的平衡状态，又 重新建立起新的平衡状态，热平衡载流子的 浓度也将发生变化，达到另一稳定数值。
计算载流子浓度须掌握以下两方面的知识
允许的量子态按能量如何分布 电子在允许的量子态中如何分布
(c) 费米分布函数
(d) 载流子浓度
本征半导体
室温下三种半导体材料的禁带宽度和本征载流子浓度
Si
Ge
GaAs
ni(cm-3) Eg(eV)
1.5 ×1010
1.12
2.4 ×1013
0.67
1.1×107
1.43
把载流子浓度的乘积n0p0用本征载流子浓度ni表示出来,得
n0 p0 = ni2
在热平衡情况下,若已知ni和一种载流子浓度,则可以利用上 式求出另一种载流子浓度.
3.2.3导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度
导出导带电子浓度的基本思路是：和计算状态密度是 一样
认为能带中的能级是连续分布的，将能带分成一个个 很小的能量间隔来处理。
对导带分为无限多的无限小的能量间隔，则在能量E 到E+dE之间有 dZ 个量子态
而电子占据能量为E的量子态的几率是 f (E)
f (E) > 1；
2
f (E) < 1
2.
例: E − EF > 5kT时，f (E) < 0.007； E − EF < −5kT时，f (E) > 0.993.
EF标志电子填充能级的水平
3.2.2玻耳兹曼分布函数
(3). E-EF>>kT时,
f (E) ≈ exp⎜⎛ − E − EF ⎞⎟ = exp⎜⎛ EF ⎞⎟ exp⎜⎛ − E ⎟⎞
f
(E)
=
1
+
1 E exp(
−
EF
)
k 0T
k0玻尔兹曼常数，T绝对温度，EF费米能级
费米分布函数,它描述每个量子态被电子占据的几率随E的变化.
费米分布函数性质
⒈量子态：空着的，或被电子占据的
能量为E的量子态未被电子占据(空着)的几率是：
1−
f
(E)
=
exp⎜⎛
1 EF −
E
⎞⎟
+1
⎝ kT ⎠
⎝ kT ⎠ ⎝ kT ⎠ ⎝ kT ⎠
此时分布函数的形式同经典的波尔兹曼分布是一致的.对 于能级比EF高很多的量子态,被电子占据的几率非常小.
(4). EF-E>>kT时,
1− f (E) ≈ exp⎜⎛ − EF − E ⎞⎟ = exp⎜⎛ − EF ⎞⎟ exp⎜⎛ E ⎟⎞
⎝ kT ⎠ ⎝ kT ⎠ ⎝ kT ⎠
极限工作温度
半导体材料制成的器件都有一定的极限工作温度 这个工作温度受本征载流子浓度制约 一般半导体器件中，载流子主要来源于杂质电离，而将本
征激发忽略不计。 在本征载流子浓度没有超过杂质电离所提供的载流子浓度
的温度范围，如果杂质全部电离，载流子浓度是一定的， 器件就能稳定工作。
但是随着温度的升高，本征载流子浓度迅速地增加。
第3章 半导体中载流子的统计分布
本章重点
计算一定温度下本征和杂质半导体中热平衡载 流子浓度；
探讨半导体中载流子浓度随温度变化的规律。
热平衡状态
一定的温度下，两种相反的过程（产生和复合）建 立起动态平衡
电子从价带跃迁到导带（这就是本征激发），形成 导电电子和价带空穴。
与此同时，还存在着相反的过程，即电子也可以从 高能量的量子态跃迁到低能量的量子态，并向晶格 放出一定能量，从而使导带中的电子和价带中的空 穴不断减少，这一过程称为载流子的复合。
上式表明： •本征载流子浓度只与半导体本身的能带结构和温度T 有关。 •在一定温度下，禁带宽度越窄的半导体，本征载流子浓度越大。 •对于一定的半导体，本征载流子浓度随着温度的升高而迅速增加
E
导带
EC Eg
EV
价带
(a) 能带图
E
E
E
EC
EF
EF
EV
N(E)
(b) 态密度
0 0.5 1.0
F(E)
n(E)和p(E)
k空间状态分布
在k 空间量子态的分布是均匀的 量子态的密度为V/8π3（V立方晶体的体积）。
如果计入自旋，每个量子态可以允许两个自旋相反的电 子占据一个量子态。 换言之，k空间每个量子态实际上代表自旋方向相反的 两个量子态 所以，在k空间，电子允许的量子态密度为2V/8π3。 注意：这时每个量子态最多容纳一个电子。
Ev′
V
p0
=
2
(2πm
* p
k
0T
)
3
2
h3
exp( Ev − EF k0T
)
=
Nv
f
(Ev )
Nv
=
2
(2π
m
* p
k 0T
)
3
2
h3
价带的有效状态密度
3.2.4载流子浓度乘积n0p0
n0
p0
=
Nc Nv
exp(−
Ec − E k0T
v
)
=
Nc Nv
exp(−
Eg k0T
)
=
4(
2π k0
h2
)3 (mn*m*p
3
) 2T
3
exp(−
Eg k0T
)
Eg = EC − EV 半导体材料的禁带宽度
热平衡状态下，对于一定的半导体材料，浓度积只 由温度决定，而与所含杂质无关。
3.3 本征半导体的载流子浓度
所谓本征半导体，就是完全没有杂质和缺陷的半导体。
导带中的电子都是由价带激发得到的，（只有导带和价带， 禁带中没有杂质能级）。
例如在室温附近，纯硅的温度每升高8K左右，本征载流子 的浓度就增加约一倍。
而纯锗的温度每升高12K左右，本征载流子的浓度就增加 约一倍。
当温度足够高时，本征激发占主要地位，器件将不能正常 工作。
因此，每一种半导体材料制成的器件都有一定的极限工作 温度，超过这一温度后，器件就失效了。
例如，一般硅平面管采用室温电阻率为1·cm左右的原材 料，它是由掺入5×1015cm-3的施主杂质锑而制成的。
3.1.2 状态密度
根据能量E和波矢k之间的函数关系， 由k空间的状态密度,求出导带和价带中的状态密度
导带底E(k)与k的关系
E(k)
=
Ec
+
2k 2 2mn*
3.1.2 状态密度
k空间的状态密度
2V
8π 3
能量E~(E+dE)间的量子态数
dZ
=
2V
8π 3
× 4π k 2dk
可得
(−e)n0 + (+e) p0 = 0
通常称这种关系为电中性条件或电中性方程.
二、本征费米能级
由电子和空穴浓度的表达式和电中性条件，得
NC
exp
⎛ ⎜
−
⎝
EC − EF k0T
⎞ ⎟ ⎠
=
NV
exp
⎛ ⎜
−
⎝
EF − EV k0T
⎞ ⎟ ⎠
两端取对数后,得
Ec
Ei
=
EF
=
1 2
(
EC
+
EV
)+
1 2 k0T
k
=
(2mn*
)1 2(EFra bibliotek−1
Ec ) 2
,
kdk = mn*dE 2
代入可得
dZ
=
V
2π 2
(2mn* )32
3
(E −
1
Ec ) 2 dE
导带底附近状态密度
gc (E)
=
dZ dE
=
V
2π 2
(2mn* )32
3
(E
−
1
Ec ) 2
注意:状态密度与有效质量有关,有效质量大的能带,状态密度也大.
3.1状态密度
状态密度
g(E) = dZ dE
计算步骤
单位能量间隔内的量子态数
计算单位k空间中的量子态数； k空间的状态密度
计算能量间隔所对应的k空间体积；
计算能量间隔内的量子态数；
求得状态密度。
3.1.1 k空间中量子态的分布
对于边长为L的立方晶体
kx = 2πnx/L (nx = 0, ±1, ±2, …) ky = 2πny/L (ny = 0, ±1, ±2, …) kz = 2πnz/L (nz = 0, ±1, ±2, …)
费米分布函数的性质:
⑴随着能量E的增加,每个量子态被电子占据的几率 f (E)
逐渐减小,而空着的几率 (1− f (E))则逐渐增大.即电子优
先占据能量较低的能级.
当E等于EF时,有
f
(EF
)
=1−
f
(EF
)
=
1 2
EF实际上是一个参考能级,低于EF的能级被电子占据的 几率大于空着的几率;高于EF的量子态,被电子占据的几率 则小于空着的几率.
例: 室温时硅的Ei就位于禁带中央之下约为0.01eV的地方. 也有少数半导体,Ei相对于禁带中央的偏离较明显.如锑化铟 m*p mn* ≈ 32 Eg ≈ 0.17eV , 在室温下,本征费米能级移向导带.
三、本征载流子浓度