0
x e dx
1 2 x

x
0
x e dx
1 2 x

2
(2 mn k0T )3/2 EC EF EC EF n0 2 exp( ) N exp( ) c 3 h k0T k0T
* (2 mn k0T )3/2 Nv 2 h3
– 价带中的空穴密度：
p0 dp dp N v exp(
4 本征半导体的载流子密度
导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度 本征载流子的产生：
4 本征半导体的载流子密度
本征半导体(intrinsic semiconductor ) – 本征半导体就是一块没有杂质和缺陷的半导体。 – 在绝对零度时，价带中的全部量子态都被电子占据，而导带中的量子态都是 空的，也就是说．半导体中共价键是饱和的、完整的。 – 半导体的温度T＞0K时，就有电子从价带激发到导带去，同时价带中产生了 空穴，这就是所谓的本征激发。由于电子和空穴成对产生．导带中电子浓度 等于价带中的空穴浓度。 – 本征激发情况下的电中性条件：n0=p0
– 波尔兹曼Boltzman统计分布
导带中的所有量子态来说，被电子占据的几率一般满 足f(E)<<1，电子分布规律可不必考虑泡利不相容原理 , E-EF>>k0T, 则
f( E )
E EF 1 E exp( ) A exp( ) fB(E ) E EF k0T k0T 1 exp( ) k0T
dE( k ) h 2k dk * 2 mn
g( E )
* 3/ 2 (2mn ) dZ 1/ 2 4 V ( E E ) C dE h3
同样，价带空穴的态密度为：
g( E )
dZ 4 V dE
3/ 2 (2m* ) p
h3
( Ev E )1/ 2
g( E )
dZ 4 V dE
* * mn mp
Eg 2k0T 3 * * 3 / 2 31 3/ 2 4( 2 ) (mn m p ) exp( ) 2.33 10 ( ) exp( ) h k0T m0 k0T
–对一定的半导体材料，乘积只决定于温度 T，与所含 杂质无关。一定的半导体材料，在一定的温度下，乘 积一定; –在一定温度下，对不同的半导体材料，因禁带宽度 不同，乘积也将不同。这个关系式不论是本征半导体 还是杂质半导体，只要是热平衡状态下的非简并半导 体，都普遍适用; –确定系统费米能级 EF ，在一定温度下，半导体导带 中电子浓度、价带中空穴浓度就可以计算出来。 –电子和空穴的浓度乘积和费米能级无关;
空穴的波尔兹曼分布函数
• 服从玻耳兹曼统计律的电子系统称非简并 性系统．而服从费米统计律的电子系统称 为简并性系统
– Fermi 和Boltzman 分布区别
• 导带中的电子和价带中空穴的浓度
– 处理方法：和计算状态密度时一样，认为能带中的能 是连续分布的。 电子占据能量为E的量子态的几率是f(E)、则dE间有 gc(E) f(E) dE个电子。从导带底到导带顶对其积分，就 得到了能带中的电子总数．再除以半导体体积，就得 到了导带中的电子浓度。 – 热平衡非简并半导体导带中电子浓度可计算如下：
在能带E到E+dE之间无限小的能量间隔内有dZ个量子态, 则状态密度定义为
g( E )
dZ dE
(态密度)
表示能带中能量E附近单位能量间隔内的量子态数, 知道它,则允许的量子态按能量分布的情况就知道了
1.状态函数密度
三维空间晶体

波函数 (r ) uk (r )eikx , uk (r ) uk (r na), E(k ) E(k kh ) 在三维基矢方向上分别有N1，N2,N3原子数，则 波函数的周期性确定 .
3/ 2 (2m* ) p
h3
( Ev E )1/ 2
状态密度gC（E）和gV（E） 与能量E有抛物线关系，还与 有效质量有关，有效质量大的 能带中的状态密度大。
2 统计分布概念
• 物理统计的意义 • 统计规律
• 量子统计概念与规律 – Maxwell-Boltzmann 统计规律：认为粒子间可区分， 同一能量上粒子数不限定。 – 粒子在可能量子态上的分布遵循一定的规律
1 f A (E) E EA 1 exp( F ) 2 k 0T
(a) 简单能带
（b）g( )
( c) f
(d) dn /dE, dp /dE
• 本征半导体的费米能级
– 由n0=p0＝ni
N c exp( EC EF E EV ) NV exp( F ) k0T k0T
* EC EV 3k 0T m p Ei E F ln * 2 4 mn
eik RN 1
k2 2m3 N3 .a3

在基矢方向的k分量分别为：
k1 2m1 N1.a1 k2 2m2 N 2 .a2
2m1 b1 2m2 b2 2m3 b3 m1 m2 m3 k b1 b2 b3 N1.a1 b1 N 2 .a2 b2 N3 .a3 b3 N1 N2 N3
同样，半导体价带中的所有量子态来说，被空穴占 据的几率，一般都满足1－f(E)<<1。故价带中空穴服从 空穴的被耳兹曼分布函数。
三、空穴的分布函数
空穴的费米分布函数
1 f E 1 f E pF nF E EF k 0T 1 e E EF k 0T f E 1 f E e pB nB
杂质能级上的电子或空穴占据几率 杂质部分电离的情况下，在一些杂质能级上就有电子占 据着。例如在未电离的施主杂质和已电离的受主杂质的 杂质能级被电子所占据。 施主杂质能级只可能被一个有任意自旋方向的电子所占 据 电子占据施主能级几率：
1 f D (E) ED EF 1 1 exp( ) 2 k 0T
Ev Ev
Ev '

Ev E F ) k 0T
h3 能带、函数f(E)、gc(E)和gv(E)、1- f(E)、gc(E f(E))、gv(E)[1- f(E)]等曲线
价带有效状态密度
Nv 2
3/ 2 ( 2m * k T ) p 0
半导体中载流子密度积
Eg
Eg Ec Ev n0 p0 N C NV exp( ) N C N v exp( ) k 0T k 0T
• 一般可以认为，在温度不太高时，能量大于EF 的 电子态基本上没有被电子占据；能量小于EF 的电 子态，基本上被电子所占据，而电子占据E=EF能态 的几率在各种温度下总是1/2；
• kT=0.0258eV，（T=300K） • EF 的位置比较直观地反映了电子占据电子态的情 况。即标志了电子填充能级的水平。 • EF 越高，说明有较多的能量较高的电子态上有电 子占据。
第三章 半导体中载流子
的统计分布
• 半导体中载流子产生及热平衡 热激发产生载流子： 电子从价带跃迁到导带 杂质电离产生导电电子或空
穴
反过程：电子和空穴减少－载流子复合 两过程达到平衡态
本章内容：
探讨平衡态半导体中载流子密度的变化规律：量 子态随能量分布；电子在能量量子态上的分布；及其随 温度变化
1.状态函数密度
5 杂质半导体的载流子密度
• 杂质半导体物理意义 – 一般半导体器件中，载流子主要来源于杂质电离，而将本征 激发忽略不计。 – 在本征载流子浓度没有超过杂质电离所提供的载流子浓度的 温度范围，如果杂质全部电离，载流子浓度是一定的，器件 就能稳定工作。 – 随着温度的升高，本征载流子浓度迅速地增加。当本征激发 占主要地位，器件将不能正常工作，所以制造半导体器件一 般均含有适当杂质的半导体材料。因此，每一种半导体材料 制成的器件都有一定的极限工作温度。
dN gc ( E ) f B ( E )dE dE范围内电子数： dE范围内单位体积电子数： dn dN / V g c ( E ) f B ( E ) dE / V E 导带中的电子密度：
n0
EC
dn
C
'
单位体积的电子数n0： 则
n0

* n
EC1
EC
f B E g c E dE V
f( E ) 1 E EF 1 exp( ) k 0T
f
i
( EI )
N
f(E)是电子的费米分布函数; EF称为费米能级或费米能量，它和温度、半导体材料 的导电类型、杂质的含量以及能量零点的选取有关。—定 温度下，只要知道EF的数值，电子在各量子态上的统计分 F 布就完全确定。费米能级是系统的化学势 : E F ( )T N
Ec E F k0T 1 2 x
2m 4 h
3
3 2
k0T
3 2
3 2
e


x
0
x e dx
x ( E Ec ) / k0T
1 x ( Ec Ec ) / k0T
4
* 2 m n
h
3
k0T
3 2
e

Ec E F k0T

x
一般半导体在室温下(k0T=0.026)费米能级在禁带中线 （稍偏上）附近。除非禁带宽度小，电子空穴有效质 量比很大，才明显偏离。
Eg 2k0T
ni n0 p0 ( NC NV ) exp(
1/2
)
• 本征半导体的载流子浓度
ni n0 p0 ( NC NV ) exp(
费米能级EF的特点： T=0时，E<EF, f(E)=1,能级被填满 E>EF, f(E)=0，能级为空 T>0时, E<EF, f(E)>1/2，能级大部分被填充 E>EF, f(E)<1/2，能级大部分为空 E=EF, f(E)=1/2，能级一半填充