一师一优课教学设计
【教学目标】
1．知识与能力：一要熟练掌握二次函数和平面几何的基础知识；二要利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，充分挖掘题目中的隐含条件，达到解题的目的。
2．过程与方法：一要通过综合题的训练要求学生熟练掌握待定系数法、分类讨论、数形结合的数学思想方法；二要经历探究利用函数的模型表示线段长或面积的过程。
3．情感态度与价值观：一要通过探究，互相讨论，发表意见等学习过程，培养合作精神和认真倾听的习惯，二要经历探究面积的最值问题体会二次函数的应用价值和二次函数模型对解决最值问题的优越性。
【学情分析】二次函数综合题知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活，因此在解决此类综合题时，要求学生，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的解题技能，三要掌握常用的解题策略。
【教学重点难点】二次函数与几何图形相结合的综合问题
【教学过程】
一：探究问题，交流讨论
1：问题一：如图，在平面直角坐标系中，抛
物线经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三点。
（1）求该抛物线的表达式;
（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，
要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行
四边形，求所有满足条件的点P的坐标。
2：合作交流;
分类讨论;
情况一、二情况三
二：师生互动：（1）设该抛物线的表达式为y=ax²+bx+c根据题意，得
a-b+c=0 a=1 3
9a+3b+c=0 解之，得 b=
2 3 -
c=-1 c=-1
∴所求抛物线的表达式为y=1
3
x²-
2
3
-x-1
（2）①AB为边时，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可。
又知点Q在y轴上，∴点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P
有两个，分别记为P
1,P
2
.
而当x=4时，y=5
3
；当x=-4时，y=7，
此时P
1（4，
5
3
）P
2
（-4,7）
②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可又知点Q在Y轴上，且线段AB中点的横坐标为1
∴点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P
3 而且当x=2时y=-1 ，此时P
3
（2，-1）
综上，满足条件的P为P
1（4，
5
3
）P
2
（-4,7）P
3
（2，-1）
三：解决问题：
问题2：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C （2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．
（3） 若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．
⑴设抛物线的解析式为 y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，则有
1640
4
420
a b c c a b c -+=⎧⎪
=-⎨⎪++=⎩
．解得 a ＝12，b ＝1，c ＝－4． ∴ 抛物线的解析式为 y ＝12
x 2＋x －4……3分 ⑵过点M 作MD ⊥x 轴于点D ，设点M 的坐标为(m ，n ) 则AD ＝m ＋4，MD ＝－n ，n ＝12
m 2＋m －4 ∴S ＝S △AMD ＋S 梯形DMBO －S △ABO
＝12(m ＋4)(－n )＋12(－n ＋4)(－m )－12
×4×
4
＝―2n ―2m ―8
＝―2×(12
m 2＋m －4)―2m ―8 ＝―m 2
―4m (－4＜m ＜0) ……6分 ∴S 最大值＝4……7分
⑶ 满足题意的Q 点的坐标有四个，分别是
3(4,4)Q -，4(4,4)Q -，(1225,225Q --+，
D
A
B
C M y
x
O
A
B
C x
y
O
Q 4
P 1
Q 1
Q 3
Q 2
P 2
(
22Q -+-……11分
⑶的解答过程以OB 为平行四边形的一边时，由()2
1
442
x x x ⎛⎫+---= ⎪⎝⎭
得
24160x x +-=，12x =--，22x =-+，得(12Q --+，(
22Q -+-；
由()21442
x x x ⎛⎫+---=- ⎪⎝⎭
得2
40x x +=，34x =-，40
x =（舍去），得3(4,4)Q -； 以OB 为平行四边形的对角线时，由图形的中心对称易得4(4,4)Q -．
四：学法指导：
本题主要考查了二次函数解析式的确定，图形面积的求法，二次函数最值的 应用，以及平行四边形的判定和性质。
本题第⑴问用两根式更方便，但不是《数学课程标准》所要求；第⑵问用
S =S △AMO ＋S △BMO −S △ABO 更简洁；第⑶问用纵坐标之差为4，转化为一元二次方程求解；关键是点的坐标（字母）与线段长度的转换，学生典型错误多表现在分类不全和计算错误上．
本题将二次函数、方程、三角形和四边形的知识结合在一起，突出了待定系数法、数形结合思想、方程思想、函数思想、分类讨论思想、符号思想等重要的数学思想方法的考查．第⑴问考查待定系数法，是数学的核心知识之一，可设定二次函数的不同待定形式；第⑵问，由于动点限定在抛物线上，且位于第三象限，动点M 的横坐标m 限制在－4＜m ＜0范围内，使得△AMB 的面积S 关于动点
M 的横坐标m 函数关系式需要附加约束条件．由于△AMB 不是特殊的三角形，求其面积需要进行转化，要求进一步提高；第⑶问，属于双动点问题，仅要求动点P 在抛物线上，动点Q 在直线上，进一步拓展了探究空间．以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，需要分OB 为一边，或者OB 为一条对角线进行讨论，根据图形特点，转化为特殊的点线关系，即可得到要求点的坐标．
本题有效考察学生的探究能力及学生数学思考的真实水平．同时，题目设计以问题的探索为核心，体现了《课程标准》对探究性学习的要求．本题设问自然流畅，且富有变化，层次感较好，随着解答过程中对学生能力要求的逐步提高，较好的考查了学生思维的严谨性、灵活性，有利于激发学生的思维激情和潜能，增强了中考的甄选功能．
五：小结：
破解二次函数与几何图形综合题的策略。