第9章 小波变换基础9.1 小波变换的定义给定一个基本函数)(t ψ，令 )(1)(,a b t at b a -=ψψ （9.1.1）式中b a ,均为常数，且0>a 。

显然，)(,t b a ψ是基本函数)(t ψ先作移位再作伸缩以后得到的。

若b a ,不断地变化，我们可得到一族函数)(,t b a ψ。

给定平方可积的信号)(t x ，即)()(2R L t x ∈，则)(t x 的小波变换（Wavelet Transform ，WT ）定义为dt a b t t x a b a WT x )()(1),(-=⎰*ψ〉〈==⎰*)(),()()(,,t t x dt t t x b a b a ψψ （9.1.2） 式中b a ,和t 均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT ）。

如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从∞-到∞+。

信号)(t x 的小波变换),(b a WT x 是a 和b 的函数，b 是时移，a 是尺度因子。

)(t ψ又称为基本小波，或母小波。

)(,t b a ψ是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。

这样，（9.1.2）式的WT 又可解释为信号)(t x 和一族小波基的内积。

母小波可以是实函数，也可以是复函数。

若)(t x 是实信号，)(t ψ也是实的，则),(b a WT x 也是实的，反之，),(b a WT x 为复函数。

在（9.1.1）式中，b 的作用是确定对)(t x 分析的时间位置，也即时间中心。

尺度因子a 的作用是把基本小波)(t ψ作伸缩。

我们在1.1节中已指出，由)(t ψ变成)(atψ，当1>a 时，若a 越大，则)(atψ的时域支撑范围（即时域宽度）较之)(t ψ变得越大，反之，当1<a时，a 越小，则)(at ψ的宽度越窄。

这样，a 和b 联合越来确定了对)(t x 分析的中心位置及分析的时间宽度，如图9.1.1所示。

图9.1.1 基本小波的伸缩及参数a 和b 对分析范围的控制 (a)基本小波，（b ）0>b ，1=a ,(c)b 不变，2=a , (d)分析范围这样，（9.1.2）式的WT 可理解为用一族分析宽度不断变化的基函数对)(t x 作分析，由下一节的讨论可知，这一变化正好适应了我们对信号分析时在不同频率范围所需要不同的分辨率这一基本要求。

（9.1.1）式中的因子a1是为了保证在不同的尺度a 时，)(,t b a ψ始终能和母函数)(t ψ有着相同的能量，即dt abt a dt t b a 22,)(1)(⎰⎰-=ψψ令t abt '=-，则t ad dt '=，这样，上式的积分即等于dt t 2)(⎰ψ。

令)(t x 的傅里叶变换为)(ΩX ，)(t ψ的傅里叶变换为)(Ωψ，由傅里叶变换的性质，2=ttta)(,t b a ψ的傅里叶变换为：)(1)(,a b t at b a -=ψψ ⇔ b j b a e a a Ω-Ωψ=Ωψ)()(, （9.1.3）由Parsevals 定理，（9.1.2）式可重新表为： >ΩψΩ<=)(),(21),(,b a x X b a WT π ⎰∞+∞-Ω*ΩΩψΩ=d e a X a b j )()(2π（9.1.4）此式即为小波变换的频域表达式。

9.2 小波变换的特点下面，我们从小波变换的恒Q 性质、时域及频率分辨率以及和其它变换方法的对比来讨论小波变换的特点，以帮助我们对小波变换有更深入的理解。

比较（9.1.2）和（9.1.4）式对小波变换的两个定义可以看出，如果)(,t b a ψ在时域是有限支撑的，那么它和)(t x 作内积后将保证),(b a WT x 在时域也是有限支撑的，从而实现我们所希望的时域定位功能，也即使),(b a WT x 反映的是)(t x 在b 附近的性质。

同样，若)(,Ωψb a 具有带通性质，即)(,Ωψb a 围绕着中心频率是有限支撑的，那么)(,Ωψb a 和)(ΩX 作内积后也将反映)(ΩX 在中心频率处的局部性质，从而实现好的频率定位性质。

显然，这些性能正是我们所希望的。

问题是如何找到这样的母小波)(t ψ，使其在时域和频域都是有限支撑的。

有关小波的种类及小波设计的问题，我们将在后续章节中详细讨论。

由1.3节可知，若)(t ψ的时间中心是0t ，时宽是t ∆，)(Ωψ的频率中心是0Ω，带宽是Ω∆，那么)(a tψ的时间中心仍是0t ，但时宽变成t a ∆，)(at ψ的频谱)(Ωψa a 的频率中心变为a 0/Ω，带宽变成a /Ω∆。

这样，)(at ψ的时宽－带宽积仍是Ω∆∆t ，与a 无关。

这一方面说明小波变换的时－频关系也受到不定原理的制约，但另一方面，也即更主要的是揭示了小波变换的一个性质，也即恒Q 性质。

定义0Q Ω∆=Ω/=带宽/中心频率 (9.1.5) 为母小波)(t ψ的品质因数，对)(at ψ，其带宽/中心频率=Q aa00=Ω∆=Ω∆ΩΩ///因此，不论a 为何值)0(>a ，)(at ψ始终保持了和)(t ψ具有性同的品质因数。

恒Q 性质是小波变换的一个重要性质，也是区别于其它类型的变换且被广泛应用的一个重要原因。

图9.2.1说明了)(Ωψ和)(Ωψa 的带宽及中心频率随a 变化的情况。

图9.2.1 )(Ωψa 随a 变化的说明；(a) 1=a ，(b) 2=a ，(c) 2/1=a将图9.1.1和图9.1.2结合起来，我们可看到小波变换在对信号分析时有如下特点：当a 变小时，对)(t x 的时域观察范围变窄，但对)(ΩX 在频率观察的范围变宽，且观察的中心频率向高频处移动，如图9.2.1c 所示。

反之，当a 变大时，对)(t x 的时域观察范围变宽，频域的观察范围变窄，且分析的中心频率向低频处移动，如图9.2.1b 所示。

将图9.1.1和9.2.1所反映的时－频关系结合在一起，我们可得到在不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间中心和频率中心的关系，如图9.2.2所示。

图9.2.2 a 取不同值时小波变换对信号分析的时－频区间由于小波变换的恒Q 性质，因此在不同尺度下，图9.2.2中三个时、频分析区间（即0 ()ΩψΩΩ()ΩψaΩ02Ω2/0Ω0Ω)2/1(=a )1(=a )2(=a /2t ∆三个矩形）的面积保持不变。

由此我们看到，小波变换为我们提供了一个在时、频平面上可调的分析窗口。

该分析窗口在高频端（图中02Ω处）的频率分辨率不好（矩形窗的频率边变长），但时域的分辨率变好（矩形的时间边变短）；反之，在低频端（图中20/Ω处），频率分辨率变好，而时域分辨率变差。

但在不同的a 值下，图9.2.2中分析窗的面积保持不变，也即时、频分辨率可以随分析任务的需要作出调整。

众所周知，信号中的高频成份往往对应时域中的快变成份，如陡峭的前沿、后沿、尖脉冲等。

对这一类信号分析时则要求时域分辨率要好以适应快变成份间隔短的需要，对频域的分辨率则可以放宽，当然，时、频分析窗也应处在高频端的位置。

与此相反，低频信号往往是信号中的慢变成份，对这类信号分析时一般希望频率的分辨率要好，而时间的分辨率可以放宽，同时分析的中心频率也应移到低频处。

显然，小波变换的特点可以自动满足这些客观实际的需要。

总结上述小波变换的特点可知，当我们用较小的a 对信号作高频分析时，我们实际上是用高频小波对信号作细致观察，当我们用较大的a 对信号作低频分析时，实际上是用低频小波对信号作概貌观察。

如上面所述，小波变换的这一特点即既符合对信号作实际分析时的规律，也符合人们的视觉特点。

现在我们来讨论一下小波变换和前面几章所讨论过的其它信号分析方法的区别。

我们知道，傅里叶变换的基函数是复正弦。

这一基函数在频域有着最佳的定位功能（频域的δ函数），但在时域所对应的范围是∞-~∞+，完全不具备定位功能。

这是FT 的一个严重的缺点。

人们希望用短时傅里叶变换来弥补FT 的不足。

重写（2.1.1）式，即⎰Ω-*-=Ωdt e t g x t STFT t j x )()(),(ττ⎰〉-〈==Ω*τττττττj t et g x d g x )(),()()(, (9.2.6)由于该式中只有窗函数的位移而无时间的伸缩，因此，位移量的大小不会改变复指数τΩ-j e 的频率。

同理，当复指数由τΩ-j e变成τΩ-2j e（即频率发生变化）时，这一变化也不会影响窗函数)(τg 。

这样，当复指数τΩ-j e的频率变化时，STFT 的基函数)(,ττt g 的包络不会改变，改变的只是该包络下的频率成份。

这样，当Ω由0Ω变化成02Ω时，)(,ττt g 对)(τx 分析的中心频率改变，但分析的频率范围不变，也即带宽不变。

因此，STFT 不具备恒Q 性质，当然也不具备随着分辨率变化而自动调节分析带宽的能力，如图9.2.3所示。

图中Tte t g /2)(-=.u图9.2.3 STFT 的时－频分析区间(a) tj t et g t g 0)()(,Ω--=ττ，tj t et g t g 02,)()(Ω--='ττ，(b) )(ΩG 是)(,t g t τ的FT ，)(Ω'G 是)(,t g t τ'的FT ， (c)在不同的0Ω和τ处，时宽、带宽均保持不变1我们在第六至第八章所讨论的M 通道最大抽取滤波器组是将)(n x 分成M 个子带信号，每一个子带信号需有相同的带宽，即M /2π，其中心频率依次为k Mπ,1,,1,0-=M k （注：若是DFT 滤波器组，则中心频率在k Mπ2, 1,,1,0-=M k ），且这M 个子带信号有着相同的时间长度。

在小波变换中，我们是通过调节参数a 来得到不同的分析时宽和带宽，但它不需要保证在改变a 时使所得到的时域子信号有着相同的时宽或带宽。

这是小波变换和均匀滤波器组的不同之处。

但小波变换和7.9节讨论过的树状滤波器组在对信号的分析方式上极其相似。

由后面的讨论可知，离散小波变换是通过“多分辨率分析”来实现的，而“多分辨率分析”最终是由两通道滤波器组来实现的。

由（9.1.1）式，定义22)()(1),(⎰-=*dt a b t t x a b a WT x ψ (9.2.7)为信号的“尺度图（scalogram ）”。

它也是一种能量分布，但它是随位移b 和尺度a 的能量分布，而不是简单的随),(Ωt 的能量分布，即我们在第二章至第四章所讨论的时－频分布。

但由于尺度a 间接对应频率（a 小对应高频，a 大对应低频），因此，尺度图实质上也是一种时－频分布。

综上所述，由于小波变换具有恒Q 性质及自动调节对信号分析的时宽/带宽等一系列突出优点，因此被人们称为信号分析的“数学显微镜”。