(1 分)
可能产生的光谱线中波长最短的应为 λ41 ,
由
hν 41
=
E4
−
E1
=
− 15 16
E1
⇒
λ41
=c ν 41
= 16 ( hc ), 15 − E1
hc − E1
=
15 16
λ41
⇒ λ41
D
= 972 A
(1 分)
其他可能产生的光谱线波长如下：
4－2：hν 42
=
E4
− E2
=
−
3 16
(1) t = 0 时刻接通 K，导出 R、C 支路中的电流 ic 和 R、L 支路中的电流 iL 随时间 t 的变化关系；
(2)设经过一段时间后， ic 、 iL 同时达到各自最大值的二分之一，据 此确定 R、L、C 之间的关系；
第 24 届全国部分地区大学生物理竞赛试卷答案
答题说明：前 16 题是必做题，满分是 100 分；文科经管类组只做必做题；非物理 B 组限做 17 题， 满分 110 分；非物理 A 组限做 17、18 题，满分 120 分；物理组限做 17、19 题，满分 120 分。请同 学们自觉填上与准考证上一致的考生类别，若两者不符，按废卷处理，请各组考生按上述要求做题， 多做者不加分，少做者按规定扣分。 一.填空题（必做，共 12 题，每题 2 空，每空 2 分，共 48 分）
子 A 位于 xy 平面上的 P 处，粒子 B 也在 xy 平面上，如 图所示。
（1）S 系认定再过 ∆t = 5s ,A 和 B 会相碰，试问 A 认为 还需经过多长时间 ∆t A 才与 B 相碰？ （2）A 认为自己位于 S 系 P 处时，质点 B 与其相距 l ， 试求 l 。
（3）设A、B碰后粘连，且无任何能量耗散，试在S系中 计算粘连体的静止质量M0。 解：（1）已知从粒子某时刻位于 S 系中的 P 位置，到粒
Hρg
0.25 ×103 × 9.8
2
15.（必做）平行板电容器极板面积为 S，中间充满两层介质，
它们的厚度，相对介电常数和电阻率分别为 d1、ε r1、ρ1 和
d2、ε r2、ρ2 ，两端加恒定不变的电压 V，如图所示。忽略
边缘效应，试求： （1）两种介质内的电流密度和电场强度； （2）在两层介质交界面（包括介质 1 的下端面和介质 2 的 上端面）上的总电荷面密度和自由电荷面密度。
(3 分)
（3）碰前 mA = m0
1−
v
2 A
c2
=
5 4
m0 , mB
= m0
1
−
v
2 B
c2
=
5 3
m0
,
碰后粘连踢质量记为 M，速度记为 u x , u y 则有
M
=
mA
+ mB
=
35 12
m0
(2 分)；
Mu y
=
mB
× 0.8c
=
4 3 m0c
⇒ ux
=
16 c 35
Mu x
=
mA
× 0.6c
h
= 0.106 )
h2 + (2πR)2
h2 + (2πR)2
3.θ B
=
arctan
n2 n1
；垂直.
4.
µ0
=
1 tanθ 3
；
v = 2. v0 3
5. v0 =
4 πGρ R ； 4x 2 + y 2 = R 2 3
.6.
A(x) =
− 1 µx
A0e 2 ； A(r) =
r r0
A e−
u'x
=
ux 1−
− vA
vA c2
ux
= ux
− vA
= −0.6c ,
u'y =
1−
v
2 A
c2
uy
1−
vA c2
ux
= 4 × 0.8c = 3.2 c
5
5
A 系中 B 的速率为
u'B =
u
'2x
+u'
2 y
= 0.877c
因此，开始时 A 认为 B 与其相距 l = u'B ⋅∆t A = 3.51c ⋅ s
sin φ tan 2 φ
(4 分)
1
（1）人对绳端拉力等于绳内张力T ,有 P = Tv
船的重力
G mg
及水面对船的支持力
G N
都在竖直方向上，故有
T cosφ = ma船＝mar
cos φ
可解得T = mar
cos2 φ = m (a + v 2 sin φ tan 2 φ)
cos2 φ
h
(2分）
（2）今将试管缓慢地下压到某一深度时，松手后，试管既不上浮，也不
下沉，试求此时试管顶端和管外水面之间的高度差 x 。
解：（1）管内空气压强 p = p0 + ρgh, ρ :水的密度
试管竖直方向力平衡方程为 p0 S + mg = pS
即得 H
=m
ρS
=
50 ×10−3 103 × 2 ×10
−
4
= 0.25m = 25cm
(4 分)
G ⎧从上到下 E2 ⎩⎨E2＝ρ2 j = ρ2V ( ρ1d1 + ρ2d2 )
(3 分)
（2）参考题解图,在界面作高斯面，根据高斯定理得 E2∆S − E1∆S = σ∆S ε 0
界面上总电荷密度为 σ
= ε0 (E2
− E1 )
=
ε 0 (ρ2 − ρ1 )V ρ1d1 + ρ2d2
解：本题电容器内的电场是直流电路中的恒定电场，电容器正、负极板中仍有不随 t 变化的电量
Q、 − Q ,且满足关系式： Q = CU , C :电容，U :极板间电压。
G
G
电容器内的介质中有直流电通过，电流密度 j 和场强 E 的关系为
GG j = σE, σ = 1 ρ
(1)介质 1、2 内的电流从上到下，电流强度同为
(5 分)
(2)题文未提及温度变化，应按等温处理。参考题解图的几何参量，对管内
空气有
( p0 + ρgh)(h − x) = ( p0 + ρgH )(H + l)
(2 分)
得 h − x = p0 + ρgH (H + l)
(*)
p0 + ρgh
试管竖直方向力平衡方程为
( p0 + ρgx)S + mg = ( p0 + ρgh)S
；10.
B// = Q1R
2πr 2 ；B⊥ = (2 Q2 − Q1 )R
2πr 2 .
11. n = sin(α + θ ) sinθ ；α ' = 600 . 12. ∆ = 2h sin φ ± λ ；φ = arcsinφ(0.105) = 60 2
二.基本计算题（必做，共 4 题，每题 13 分，共 52 分） 13.（必做）人在岸上用轻绳拉小船，如图所
=
3 4
m0
c
⇒ ux
=
9c 35
(1 分)
⇒ u2
=
u
2 x
+
u
2 y
=
337 c 2 35 2
(1 分)
⇒ M0 =
1− u2 M = c2
1−
337 352
×
35 12
m0
⇒
M0
=
888 12
m0
=
2.48m0
(1 分)
5
18. （非物理 A 组必做，其他组不做）
电路及相关参量如图所示，开始时 K 未接通，电容器极板上没有电荷。
E1
⇒ λ42
=c ν 42
=
16 3
(
hc − E1
)
=
16 3
×
15 16
λ41
⇒ 5λ41
D
= 4860 A (1 分)
4-3:
λ 43
=
144 7
×
15 16
λ41
D
= 18750 A
(1
分)；
3-1：
3-2:
λ 32
=
36 5
× 15 16
λ41
=
D
6561 A
(1 分)； 2-1：
λ 31
间的关系式。
（2）已知 E1 = −13.6eV ,用动能为12.9eV 的电子使处于基态的氢原子激发，而后可能产生的光谱
o
线中波长最短的为 972 A ,试求其它可能产生的光谱线的波长。
解：（1）将量子化条件式 mvr = nh 2π
(2 分)
两边平方后得 m2v 2r 2 = n2h2 4π 2 ； 向心力公式 mv 2 r = e 2 4πε 0r 2
(2 分)
得 h − x = m ρS = H ,与(*)式联立，即得
h = ( p0 + H )(1 + l ) − p0 = H + l + l p0 代入上式得
ρg
H ρg
H ρg
x = h − H = l(1 + p0 ) = 10−2 (1 +
105
) ⇒ x = 0.418m = 41.8cm (4 分)
(ε r1 − 1)ρ1－(ε r2 ρ1d1 + ρ2d2
− 1) ρ 2
(3 分)
界面上自由电荷面密度为