t m l g 1 2 3 (1)
l
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(1)的量纲表达式
[t] [m]1 [l]2 [g]3
T M L T 1 2 3 23
1 0 2 3 0
2 3
1
1 0 2 1/ 2 3 1/ 2
t l
g
m
mg 对比
t 2 l
g
量纲齐次原则 等式两端的量纲一致
例: 航船阻力的物理模拟
2 3
1
1 0 2 1/ 2 3 1/ 2
t l
g
m
mg 对比
t 2 l
g
t m l g 1 2 3
为什么假设这种形式
设p= f(x,y,z)
x,y,z的量纲单 位缩小a,b,c倍
对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2，
p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )
(g) (l) () (v) (s) ( f )
f (q1, q2 ,, qm ) 0
rank A = r Ay=0 有m-r个基本解
(g,l, , v, s, f ) 0
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
m
q ysj
s
j
j 1
y1 ( 1/ 2,1/ 2,0, 1, 0, 0)T
y
2
(
0, 2, 0, 0,1, 0)T
y 3
(
1,
3, 1, 0, 0,1)T
1 2
1
g 2l l 2s
1
2v
3 g l 1 3 1 f
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与
f (q1, q2, , qm) =0 等价
m
q ysj
s
j
j 1
为得到阻力 f 的显式表达式
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (g,l,,v,s,f) = 0 等价
1 2
1 1
g 2l 2v l 2s
3 g l 1 3 1 f
F=0
3 (1, 2 )
f l3g (1, 2 ),
1
动力学中 基本量纲 L, M, T
导出量纲
引力常数 k 的量纲 [k] =[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
对无量纲量，[]=1(=L0M0T0)
f k m1m2 r2
量纲齐次原则 等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
例：单摆运动 求摆动周期 t 的表达式
设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
n
[q j ]
X ,aij i
i 1
j 1,2,, m
A {aij }nm
m=6, n=3
[g] = LT-2, [l] = L, [] = L-3M,
[v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2
1 1 3 1 2 1 (L)
A
0
0
1
0 0 1 (M )
2 0 0 1 0 2 (T)
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量
纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可表为
n
[q ] X ,aij
j
i
j 1,2,, m
i 1
量纲矩阵记作 A {aij }nm , 若 rank A r
线性齐次方程组 Ay 0 有 m-r 个基本解，记作
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r
m
则 q ysj 为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
s
j
j 1
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
量纲分析示例：波浪对航船的阻力
航船阻力 f
航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s,
海水密度, 重力加速度g。
f (q1, q2,, qm ) 0 (g, l, , v, s, f ) 0
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
பைடு நூலகம்
例：单摆运动 求摆动周期 t 的表达式
设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
t m l g 1 2 3 (1)
l
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(1)的量纲表达式
[t] [m]1 [l]2 [g]3
T M L T 1 2 3 23
1 0 2 3 0
v gl
,
2
s l2
未定
量纲分析法的评注
• 物理量的选取
(…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的
• 基本量纲的选取 基本量纲个数n; 选哪些基本量纲
• 基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解
• 方法的普适性 不需要特定的专业知识 • 结果的局限性 函数F和无量纲量未定
2.9.2 量纲分析在物理模拟中的应用
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式 f (t, m, l, g ) 0
t m l g y1 y2 y3 y4
y1~y4 为待定常数, 为无量纲量
[t] L0M 0T 1 [m] L0M 1T 0 [l] L1M 0T 0 [g] L1M 0T 2
(L0M 0T 1 ) y1 (L0M 1T 0 ) y2 (L1M 0T 0 ) y3 (L1M 0T 2 ) y4 L0M 0T 0
p1 f (ax1,by1, cz1), p2 f (ax2,by2, cz2 )
p1 p1 p2 p2
f (x1, y1, z1) f (ax1,by1, cz1) f (x2, y2, z2 ) f (ax2,by2, cz2 )
p= f(x,y,z)的形式为 f (x, y, z) x y z
量纲分析与无量纲化实例及 MATLAB求解
2.9 量纲分析与无量纲化
2.9.1 量纲齐次原则
物 长度 l 的量纲记 L=[l] 理 质量 m的量纲记 M=[m] 量 时间 t 的量纲记 T=[t] 的 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 量 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 纲 力 f 的量纲 [f]=LMT-2
L M T L M T y3y4
y2 y1 2 y4
0 00
y3 y4 0
y 2
0
y1 2 y4 0
基本解 y ( y1, y2 , y3, y4 )T (2, 0, 1, 1)T
t 2l 1g F ( ) 0
(t l / g )
Pi定理 (Buckingham) 设 f(q1, q2, , qm) = 0