3
0.884675
满足了精度要求
0.78265
返回
1）当用 f（x）=
x x gx gx 0 f （ x ）= mx x g x x x gx = x x mg x x x *gx
它对应的迭代方程为 x x 故其迭代函数为
f ( x) 显然是f(x)=0的同解方程， f ( x)
f ( x) ( x) x ( f ( x) 0) f ( x) 在 f(x)=0的根 的某个邻域 R( x ) 内, f ( x) 0
( x) f ( x) f ( x) L 1
m h 1 (1 O( h)) O( h) 0 ( h 0) h m 所以 ( x*) 0 由定理2知 至少是二阶收敛
上一页 下一页 返回
牛顿迭代法的优缺点
1、优点：牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代 过程中只要迭代几次就会得到很精确的解。这是牛顿迭代 法比简单迭代法优越的地方。 2、缺点：选定的初值要接近方程的解，否则有可能的不 到收敛的结果。再者，牛顿迭代法计算量比较大。因每次 迭代除计算函数值外还要计算微商值。

y f ( xk ) f ( x k ) 与X轴的交点的横坐标（如图）。也就 x xk
是点 ( x , f ( x )) 处 y f ( x) 的切线 k k k 1
轴相交得到的。继续取点 ( xk 1 , f ( xk 1 )) ,再做切线与x轴相
Newton迭代法又称切线法
* m
*
Newton 法求ｍ重根时，不妨设
* m 1 * m
* m 1
x k 1
f x k x xk x* = f x k
*

mg x k x k x * g x k xk x mg x k x k x * gx k
列于下表
n
xn
1 2 3 4 1.411764706 1.369336471 1.368808189 1.368808108
从计算结果可以看出,牛顿法的收敛速度是很快的,进行了 四次迭代就得到了较满意的结果.
上一页 下一页 返回
例2 计算 0.78265 的近似值。 =10-6
解： 令x= 由牛顿迭代公式

1。
则终止迭代，
以 x1作为所求的根；否则转步四。此处 1 是允许误差,
上一页 下一页 返回
而
x1 x0 ,当.. x1 c时；。其中c是取绝对值或相对误差 x x 1 0 ，当 ... x c 时。 1 x 1
的控制常数，一般可取c=1。 步四、修改。如果迭代次数达到预定指定的次数N，或者 代替( x0 , f 0 , f 0)转 f1 0 则方法失败；否则以 ( x1 , f1 , f1) 步二继续迭代。
下一页
上一页
返回
y
上一页
下一页
返回
牛顿迭代法的步骤

步一、准备。选定初始近似值 x 0，计算 f 0 f ( x0 )
f 0 f ( x0 )
f0 步二、迭代。按公式 x1 x0 迭代一次，得到新的近 f 0
似值x1，计算 f1 f ( x1 ), f1 f ( x1 ) 步三、控制。如果x1满足
上一页 下一页 返回
判别Newton 法收敛的充分条件
设(x )在有根区间 (a,b)上存在二阶导数，且满足 （1）(a)(b)<0； （2）`(x)0，x(a,b)； （3）``(x)不变号，x(a,b)； （4）初值x0 (a,b)；且使(x0)``(x0)>0。 则牛顿迭代序列{xi}收敛于 (x)=0 在 (a,b) 内唯一的根。
f ( x * h) x * h m x* ( x * h) ( x *) f ( x * h) h h
上一页 下一页 返回
m f ( x * h) 1 h f ( x * h )
m 1 h
Tailor展开
m 1 h
h m (m) f ( x *) hf ( x *) f ( x *) O( h m 1 ) m! h m 1 f ( x *) hf ( x *) f ( m ) ( x *) O( h m ) ( m 1)! m h f ( m ) ( x *) O( h m 1 ) m! h m 1 f ( m ) ( x *) O( h m ) ( m 1)!
*





lim
k
* x k 1 x * mg x x x g x k k k lim * =k xk x mg x k x k x * gx k m 1g x* m 1 0 = m mg x *

x0=0.88
2 0.780的正根
xk+1= xk-ƒ(xk)/ƒ'(xk)= xk/2+0.78265/2xk 迭代结果
k 0
xk 0.880000
xn 1 xn
1
0.884688
f ( xn ) / f ( x0 )
2
0.884675 =0.884675 上一页 下一页


此时，Newton 法具有线性敛速。
上一页
下一页
返回
2)修正Newton法求m重根迭代公式 f ( xk ) xk 1 xk m f ( xk ) 注：若 x* 是方程 f ( x) 0 的m重根，而 f ( m) ( x)在 x* 的 某一邻域内连续，则修正 Newton法是局部收敛的，并具 有至少二阶的收敛速度。 因为：考察函数 ( x ) x m f ( x ) f ( x ) 在x * 处的导数 用定义求导
上一页
下一页 返回
例题
例1:用牛顿法求下面方程的根f ( x) x 3 2 x 2 10 x 20 解 因 f ( x) 3x 2 4 x 10 ,所以迭代公式为
xn1 xn ( xn3 2 xn2 10 xn 20) /(3xn2 4 xn 10) 选取x0 1,计算结果
f ( x)
2
在 的邻域R 内，对任意初值 x 0 ，应用由公式（1）来解方程的方
法就称为牛顿迭代法。它是解代数方程和超越方程的有效方法之一.
上一页 下一页 返回
牛顿法的几何意义

由（1）式知 x
是说，新的近似值x k 1 是用代替曲线y=f(x)的切线与x 交，又可得xk 2 , 。由图可见，只要初值取的充分靠 近 ,这个序列就会很快收敛于 。
上一页 返回