济南大学2015～2016学年第一学期课程考试试卷（A 卷）
课 程 高等数学（一） 考试时间 2016 年 1 月 8 日
………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。

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一、选择题（每小题2分，共10分） (1) =-→x
x x 10)1(lim (A) 1. (B)
e 1. (C) e . (D) ∞. (2) 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin )(x x x x x
f 则0=x 是函数)(x f 的
(A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点.
(3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是
(A) )1ln(x +. (B) x e . (C) )cos(12x -. (D) )2sin(x .
(4) 函数)(x f 在0x 点连续是它在该点可微的
(A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对.
(5) 设函数)(x f 具有连续的导函数，则下列等式正确的是
(A) ⎰=)()(x f x f d . (B) x x f x f d d ⎰=)()(. (C)
)()(x f x x f x =⎰
d d d . (D) C x f x x f +=⎰)()(d d . 二、填空题（每小题2分，共10分） (1) =→x x x 2sin lim 0 ． (2) 函数)1ln(22x x y +=的微分=y d ．
(3) 曲线123+--=x x x y 的拐点是 . (4) =⎰∞
+121x x
d ． (5) 微分方程02=-'-''y y y 的通解为_______________.
三、计算题（每小题6分，共18分） (1) 145lim 1
---→x x x x . (2) x
x x x x sin 1lim 0--→e .
(3) 设函数)(x y y =由参数方程⎩
⎨⎧==t y t x t t cos sin e e 所确定，求x y d d . 四、计算下列积分与微分方程（每小题8分，共32分）
(1) ⎰+3
1221x x x d 1
. (2) ⎰-10x x x d e . (3) )cos(2x y x y ='. (4) x x y y sin cos -=+'e .
五、综合题（每小题10分，共20分）
(1) 设函数)(x f y =由方程⎰
=+-+x t y xy t y sin 02
1d e e -所确定，求曲线)(x f y =在点),0(0处的切线方程和法线方程.
(2) 设抛物线22)1(201x a ax y +-=（其中0>a ）与x 轴所围成的图形的面积为)(a f . 问a 为何值时，)(a f 达到最大值，并求此最大值.
六、证明题（10分）设函数)(x f 在闭区间]2,0[上连续，在开区间)2,0(内可导，且
0)0(=f ，3
8)2(=
f . 证明：(Ⅰ) 存在一点)1,0(∈ξ，使得31)()1(2+-'=ξξf f ； (Ⅱ) 对于(Ⅰ)中的ξ，存在一点)2,0(∈η，使得22)()(ηξηξ+='+'f f .
济南大学2015~2016学年第一学期
课程考试试卷评分标准（含参考答案）
课程名称：高等数学（一） 任课教师：
一、选择题 (1) B ．(2) D . (3) A . (4) B ．(5) C ．
二、填空题 (1) 2．(2) x x x x x d ]12)1ln(2[23
2
+++. (3) )27
16,31(. (4) 1．(5) x x e C e C y 221+=-． 三、计算题
(1) 解：)
45)(1()45)(45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x x x +--+---=---→→ 2454lim )45)(1()1(4lim 11=+-=+---=→→x
x x x x x x x (2) 解：x x x x x x x x x x cos sin 1lim sin 1lim 00+-=--→→e e 2
1sin cos 2lim 0=-=→x x x x x e
(3) 解：t
t t t t t t t t
x t y
x y t t sin cos sin cos )sin (cos )sin (cos +-=+-==e e d d d d d d 四、计算下列积分与微分方程
(1) 解：令t x tan =，则：⎰⎰=+3423
12
2sin cos 1ππt t t x x x d d 1 3322sin 1sin sin 134342-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰πππ
πt t t d (2) 解：⎰⎰⎰----+-=-=1
010101
0)(x x x x x x x x x d e ]e [e d d e 110121---=-+-=e -]e [e x (3) 解：由)cos(2x y
x y ='分离变量得：x x x y y d d )cos(2=， 积分：⎰⎰=x x x y y d d )cos(2，得：
122)sin(2
121C x y +=， 化简得：C x y +=)sin(22. (4) 解：微分方程x x y y sin cos -=+'e 的通解为)(][sin cos sin cos C x C x e y x x x x x x +=+⎰⎰
=---⎰e d e e d d 五、综合题
(1) 解：对方程⎰=+-+x
t y xy t y sin 021d e e -两边求导得：x y y y x y x y xy cos )(2sin -e e ='+'+'++
将0,0==y x 代入得：21)0(=
'y 切线方程为：x y 2
1=，法线方程为：x y 2-= (2) 解：抛物线22)1(201x a ax y +-
=与x 轴的交点为)0,0(和)0,)1(20(2+a a ，则：4
3)
1(20022)1(3200])1(201[)(2+=+-=⎰+a a x x a ax a f a a
d 5243)
1(3)3(200)1(3200)(+-=+='a a a a a a f ，令0)(='a f 得：3=a ， 当3<a 时，0)(>'a f ；当 3>a 时，0)(<'a f . 所以：32225)3(=
f 是函数)(a f 的极大值，也是最大值.
六、证明题
证：(Ⅰ) 设x x x f x F 3
131)()(3+-=，则)(x F 在闭区间]2,0[上连续，在开区间)2,0(内可导，且0)0()0(==f F ，)1()1(f F =，3
1)()(2+-'='x x f x F ，则存在一点)1,0(∈ξ，使得)()0()1(ξF F F '=-，即3
1)()1(2+-'=ξξf f .
(Ⅱ) 又由于3
23238)2()2(=+-=f F ，则存在一点)2,1(∈η，使得)()1()2(ηF F F '=-，即31)()1(322+-'=-ηηf f . 与31)()1(2+-'=ξξf f 相加即得：22)()(ηξηξ+='+'f f。