23．2 相似三角形的判定（一）本节内容是上科版《新时代数学》九上第24章《相似形》第二节《相似三角形判定》的第一节课．是在学习了第一节相似多边形的概念、比例线段的有关概念及性质，并具备了有关三角形中位线和平行四边形知识后,研究三角形一边的平行线的判定定理．一方面，该定理是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展；另一方面，不仅可以直接用来证明有关三角形相似的问题，而且还是证明其他三种判定定理的主要根据，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的“预备定理”．通过本节课的学习，还可培养学生实验、猜想、证明、探索等能力，对掌握分析、比较、类比、转化等思想有重要作用．因此，这节课在本章中有着举足轻重的地位．知识与技能目标：（1）、理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角．（2）、掌握相似三角形判定定理的“预备定理”．过程与方法目标：（1）、通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法．（2）、利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力．情感与态度目标：（1）、通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷．（2）、通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦．相似三角形判定定理的预备定理的探索相似三角形判定定理的预备定理的有关证明探究法多媒体课件直尺、三角板一、课前准备1、全等三角形的基础知识2、三角形中位线定理及其证明方法3、平行四边形的判定和性质4、相似多边形的定义5、比例的性质二、复习引入（一）复习1、相似图形指的是什么？2、什么叫做相似三角形？（二）引入如图1，△ABC与△A’B’C’相似.图1记作“△ABC ∽△A ’B ’C ’”， 读作“△ABC 相似于△A ’B ’C ’”．：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角．对于△ABC ∽△A ’B ’C ’,根据相似形的定义,应有∠A ＝∠A ’， ∠B ＝∠B ’ , ∠C ＝∠C ’, ''B A AB ＝''C B BC ＝''A C CA . ：将△ABC 与△A ’B ’C ’相似比记为k 1,△A ’B ’C ’与△ABC 相似比记为k 2,那么k 1 与k 2有什么关系? k 1＝ k 2能成立吗?三、探索交流（一）［探究］1、在△ABC 中，D 为AB 的中点，如图2，过D 点作DB ∥BC 交AC 于点E ，那么△ADE 与△ABC 相似吗？（1）“角” ∠BAC ＝∠DAE ．∵DB ∥BC, ∴∠ADE ＝∠B, ∠AED ＝∠C ．（2）“边” 要证明对应边的比相等，有哪些方法？Ⅰ、直接运用三角形中位线定理及其逆定理∵DB ∥BC ，D 为AB 的中点，∴E 为AC 的中点，即DE 是△A BC 的中位线． 图2（三角形中位线定理的逆定理）∴DE ＝21BC ．（三角形中位线定理） ∴AB AD ＝AC AE ＝BC DE ＝21． ∴△ADE ∽△ABC ．Ⅱ、利用全等三角形和平行四边形知识过点D 作DF ∥AC 交BC 于点F ，如图3．则△ADE ≌△ABC ,（ASA ）且四边形DFCE 为平行四边形.（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 图3∴DE ＝BF ＝FC.∴AB AD ＝AC AE ＝BC DE ＝21． ∴△ADE ∽△ABC ．2、当D 1、D 2为AB 的三等分点，如图4．过点D 1、D 2分别作 BC 的平行线，交AC 于点E 1、E 2，那么△AD 1E 1、△AD 2E 2与△ABC 相似吗？由（1）知△AD 1E 1∽△AD 2E 2，下面只要证明△AD 1E 1与△ABC 相似，关键是证对应边的比相等．过点D 1、D 2分别作AC 的平行线，交BC 于点F 1、F 2，设D 1F 1与D 2F 2相交于G 点．则△AD 1E 1≌△D 1D 2G ≌D 2BF 2,（ASA ）且四边形D 1F 1CE 1、D 2F 2CE 2、D 1GE 2E 1、D 2F 2F 1G 为平行四边形.（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）图4∴D 1E 1＝BF 2＝F 2F 1＝F 1C ， ∴AE 1＝E 1E 2＝E 2C ，∴ AB AD 1＝AC AE 1＝BC E D 11＝31． ∴△AD 1E 1∽△ABC ． ∴△AD 1E 1∽△AD 2E 2∽△ABC ．：上述证明过程较复杂，有较简单的证明方法吗？过点D 2分别作AC 的平行线，交BC 于点F 2，如图5．则四边形D 2F 2CE 2为平行四边形，且△AD 1E 1≌D 2BF 2,（ASA ） ∴D 2E 2＝F 2C ，D 1E 1＝BF 2．由（1）知，D 1E 1＝21D 2E 2，AE 1＝21AE 2， 图５∴D 1E 1＝31BC ，AE 1＝31AC ． ∴AB AD 1＝AC AE 1＝BC E D 11＝31． ∴△AD 1E 1∽△ABC ． ∴△AD 1E 1∽△AD 2E 2∽△ABC ．（二）［猜想］3、通过上面两个特例，可以猜测：当D 为AB 上任一点时，如图6，过D 点作DE ∥BC 交AC 于点E ，都有△ADE 与△ABC ．图6（三）［归纳］定理 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似．这个定理可以证明，这里从略．四、应用迁移：课本第53～54页练习1、3练习1、如图案，点D 在△ABC 的边AB 上，DB ∥BC 交AC 于点E ．写出所有可能成立的比例式．练习3、在第1题中，如果DB AD ＝23，AC ＝8cm ．求AE 长． 五、整理反思（一）小结 内容总结 思想归纳图7（二）反思六、布置作业课本第53～54页 练习2．《基础训练》第41～42页 练习2、3．思考题：如图8、过△ABC 的边AB 上任意一点D ，作DE ∥BC 交AC 于点E ， 那么 DB AD ＝ECAE ．相似三角形记号 读法注意24．2 相似三角形的判定 探究1、在△ABC 中，D 为A B 的中点 课本第53～54页 练习1 定理 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似．探究2、当D 1、D 2为AB 的三等分点 猜想 练习3 小结 作业新课程提出，学习目标应由“关注知识”转向“关注学生”，课堂设计应由“给出知识”转向“引起活动”得到“经历、体验”。

在课堂中，教师也积极地创设出有利于学生主动参与的教学情境，激发学生的学习兴趣，充分地调动学生学习积极性，给学生留有思考和探索的余地，让学生能在独立思考与合作交流中解决学习中的问题．这节课是教学公开课，课前让学生允分的预习。

在这种前提下，感觉教学过程进行非常顺利，学生学习也达到目标。

这样使我感觉到：“先学后教”对学生自学能力的培养无疑有促进作用，教师在课堂教学中把引导学生学会学习放到教学的首位，教师在引导自学和发现、帮助学生克服学习困难上下工夫，这种先学后教的教学要求有效地制约了习惯于“满堂灌”的教师，这对贯彻“以学生为主体”的教学理念是十分重要的。

这节课在要培养学生的数学探索能力方面做了有益的尝试，探索的过程实质上是一个不断提出设想、验证设想、修正和发展设想的过程。

在数学中，它表现在提出数学问题，探求数学结论，探索解决途径，寻找解题规律等一系列有意义的发现活动中，而数学探索能力就集中表现为提出设想和进行转换的本领。

教学中，激发学生的学习兴趣，使学生处于探索未知世界的主动地位；在具体教学中要善于引导学生推敲关键性的词句，使学生学会“引申”所学的知识．课堂教学要充分张扬教师、学生的教学个性。

教学要有统一的要求，但无须也不该要统一的方法。

教育的最高境界应该是教无定法，学无定法。

绚丽多姿的课堂需要个性飞扬的教师，教学管理者应鼓励教师在教学方法、教学技巧、教学手段上标新立异。

图8附： 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似 简析：该定理的证明分为两步：先证“思考题”，再证该定理（以直线DE ∥BC 交AB 、AC 于点D 、E 为例）．Ⅰ、如图8、过△ABC 的边AB 上任意一点D ，作DE ∥BC 交AC 于点E ，那么 DB AD ＝ECAE ．图8 图9证明：如图9，连接BE ，过点E 作边AB 的垂线段h ．∵S △ADE ＝21AD ·h ，S △BDE ＝21DB ·h ．∴BDE ADES S ∆∆＝h BD h AD ⋅⋅2121＝DB AD ． 同理可证CED AED S S ∆∆＝EC AE ． ∵DE ∥BC ， ∴S △BDE ＝S △CED ．∴BDE ADE S S ∆∆＝CED AED S S ∆∆，DB AD ＝EC AE ．∴AB AD ＝ACAE ． Ⅱ、如图10，直线DE ∥BC 交AB 、AC 于点D 、E ，则△ADE ∽△ABC ．（1）“角” ∠BAC ＝∠DAE ．∵DB ∥B C, ∴∠A DE ＝∠B, ∠AED ＝∠C.（2）“边” ∵DB ∥BC,AB AD ＝ACAE ． 过D 点作DF ∥AC 交BC 于点F ．∴BC FC ＝ABAD ． 又∵四边形DFCE 是平行四边形，∴ FC ＝DE ， 图10∴ BC DE ＝AB AD ．∴ AB AD ＝AC AE ＝BCDE ． ∴ △ADE ∽△ABC ．。