24．2点和圆、直线和圆的位置关系24．2.1点和圆的位置关系1．如图，⊙O的半径为r.(1)点A在⊙O外，则OA__＞___r；点B在⊙O上，则OB__＝___r；点C在⊙O内，则OC__＜___r.(2)若OA＞r，则点A在⊙O__外___；若OB＝r，则点B在⊙O__上___；若OC＜r，则点C在⊙O__内___．2．在同一平面内，经过一个点能作__无数___个圆；经过两个点可作__无数___个圆；经过__不在同一直线上___的三个点只能作一个圆．3．三角形的外心是三角形外接圆的圆心，此点是__三边垂直平分线的交点___．4．反证法首先假设命题的__结论___不成立，经过推理得出矛盾，由此判定假设__错误___，从而得到原命题成立．知识点1：点与圆的位置关系1．已知点A在直径为8 cm的⊙O内，则OA的长可能是( D)A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm2．已知圆的半径为6 cm，点P在圆外，则线段OP的长度的取值范围是__OP＞6_cm___．3．已知⊙O的半径为7 cm，点A为线段OP的中点，当OP满足下列条件时，分别指出点A与⊙O的位置关系：(1)OP＝8 cm；(2)OP＝14 cm；(3)OP＝16 cm.解：(1)在圆内(2)在圆上(3)在圆外知识点2：三角形的外接圆4．如图，点O是△ABC的外心，∠BAC＝55°，则∠BOC＝__110°___．5．直角三角形外接圆的圆心在__斜边的中点___上．若直角三角形两直角边长为6和8，则该直角三角形外接圆的面积为__25π___．6．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是( C)A．任意三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形7．如图，一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口A，B，C，这三个洞口不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三个洞口？作出这个位置．解：图略．连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，且相交于点O，点O 即为所求知识点3：反证法8．用反证法证明：“垂直于同一条直线的两条直线平行”第一步先假设( D)A．相交B．两条直线不垂直C．两条直线不垂直于同一条直线D．垂直于同一条直线的两条直线相交9．用反证法证明：“△ABC中至少有两个锐角”，第一步假设为__△ABC中至多有一个锐角___．10．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2＝180°，求证：l1__∥___l2.证明：假设l1__不平行___l2，即l1与l2相交于一点P，则∠1＋∠2＋∠P__＝___180°(__三角形内角和定理___)，所以∠1＋∠2__＜___180°，这与__已知___矛盾，故__假设___不成立，所以__l1∥l2___．11．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中，不正确的是( A)A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外12．如图，△ABC的外接圆圆心的坐标是__(－2，－1)___．13．在平面直角坐标系中，⊙A的半径是4，圆心A的坐标是(2，0)，则点P(－2，1)与⊙A的位置关系是__点P在⊙A外___．14．若O为△ABC的外心，且∠BOC＝60°，则∠BAC＝__30°或150°___.15．如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.(1)当r在什么范围时，点A，B在⊙C外？(2)当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？解：(1)0＜r＜3(2)3＜r＜416．如图，⊙O′过坐标原点，点O′的坐标为(1，1)，试判断点P(－1，1)，Q(1，0)，R(2，2)与⊙O′的位置关系．解：点P在⊙O′外，点Q在⊙O′内，点R在⊙O′上17．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．解：(1)用尺规作出两边的垂直平分线，交于O点，以O为圆心，OA长为半径作出⊙O，⊙O即为所求作的花坛的位置(图略)(2)25π平方米18．如图①，在△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与点A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.(1)求证：△ABD≌△CBE；(2)如图②，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．解：(1)由SAS可证(2)四边形BECD是菱形．证明：∵△ABD≌△CBE，∴CE＝AD.∵点D是△ABC的外接圆圆心，∴DA＝DB＝DC.又∵BD＝BE，∴BD＝BE＝EC＝CD，∴四边形BECD是菱形24．2.2直线和圆的位置关系第1课时直线和圆的位置关系1．直线和圆有__相交___、__相切___、__相离___三种位置关系．2．直线a与⊙O__有唯一___公共点，则直线a与⊙O相切；直线b与⊙O__有两个___公共点，则直线b与⊙O相交；直线c与⊙O__没有___公共点，则直线c与⊙O相离．3．设⊙O的半径为r，直线到圆心的距离为d，则：(1)直线l1与⊙O__相离___，则d__＞___r；(2)直线l2与⊙O__相切___，则d__＝___r；(3)直线l3与⊙O__相交___，则d__＜___r.知识点1：直线与圆的位置关系的判定1．(2014·白银)已知⊙O的半径是6 cm，点O到同一平面内直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是( A)A．相交B．相切C．相离D．无法判断2．已知一条直线与圆有公共点，则这条直线与圆的位置关系是( D)A．相离B．相切C．相交D．相切或相交3．在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( C)A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4 cm，BC＝2 cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？请你写出判断过程．(1)r＝1.5 cm；(2)r＝ 3 cm；(3)r＝2 cm.解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，可求CD＝ 3.(1)r＝1.5 cm时，相离；(2)r＝ 3 cm 时，相切；(3)r＝2 cm时，相交知识点2：直线与圆的位置关系的性质5．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为5，则半径r的取值范围是( A)A．r＞5 B．r＝5C．0＜r＜5 D．0＜r≤56．如图，⊙O的半径OC＝5 cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB＝8 cm，则l沿OC所在的直线向下平移，当l与⊙O相切时，平移的距离为( B) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm7．已知⊙O的圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，若d，r是方程x2－4x＋m ＝0的两个根，且直线l与⊙O相切，则m的值为__4___．8．在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BO＝x，⊙O的半径为2，求当x在什么范围内取值时，AB 所在的直线与⊙O 相交、相切、相离？解：过点O 作OD ⊥AB 于D ，可得OD ＝12OB ＝12x.当AB 所在的直线与⊙O 相切时，OD ＝r ＝2，∴BO ＝4，∴0＜x ＜4时，相交；x ＝4时，相切；x ＞4时，相离9．已知⊙O的面积为9πcm2，若点O到直线l的距离为πcm，则直线l与⊙O的位置关系是( C)A．相交B．相切C．相离D．无法确定10．已知⊙O的半径为3，直线l上有一点P满足PO＝3，则直线l与⊙O的位置关系是( D)A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交11．已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.若直线l与⊙O相切，则以d，r 为根的一元二次方程可能为( B)A．x2－3x＝0 B．x2－6x＋9＝0C．x2－5x＋4＝0 D．x2＋4x＋4＝012．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC 与⊙O的位置关系是__相切___．13．已知⊙O的半径是5，圆心O到直线AB的距离为2，则⊙O上有且只有__3___个点到直线AB的距离为3.14．如图，⊙P的圆心P(－3，2)，半径为3，直线MN过点M(5，0)且平行于y轴，点N在点M的上方．(1)在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′，根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系；(2)若点N在(1)中的⊙P′上，求PN的长．解：(1)图略，⊙P′与直线MN相交(2)连接PP′并延长交MN于点Q，连接PN，P′N.由题意可知：在Rt△P′QN中，P′Q＝2，P′N＝3，由勾股定理可求出QN＝5；在Rt△PQN中，PQ＝3＋5＝8，QN＝5，由勾股定理可求出PN＝82＋（5）2＝6915．如图，半径为2的⊙P的圆心在直线y＝2x－1上运动．(1)当⊙P和x轴相切时，写出点P的坐标，并判断此时y轴与⊙P的位置关系；(2)当⊙P和y轴相切时，写出点P的坐标，并判断此时x轴与⊙P的位置关系；(3)⊙P是否能同时与x轴和y轴相切？若能，写出点P的坐标；若不能，说明理由．解：∵⊙P的圆心在直线y＝2x－1上，∴圆心坐标可设为(x，2x－1)．(1)当⊙P和x 轴相切时，2x－1＝2或2x－1＝－2，解得x＝1.5或x＝－0.5，∴P1(1.5，2)，P2(－0.5，－2)．∵1.5＜2，|－0.5|＜2，∴y轴与⊙P相交(2)当⊙P和y轴相切时，x＝2或－2，得2x －1＝3或2x－1＝－5，∴P1(2，3)，P2(－2，－5)．∵|－5|＞2，且|3|＞2，∴x轴与⊙P相离(3)不能．∵当x＝2时，y＝3，当x＝－2时，y＝－5，|－5|≠2，3≠2，∴⊙P不能同时与x轴和y轴相切16．已知∠MAN＝30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD＝x.(1)如图①，当x取何值时，⊙O与AM相切？(2)如图②，当x取何值时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC＝90°？解：(1)过O点作OF⊥AM于F，当OF＝r＝2时，⊙O与AM相切，此时OA＝4，故x＝AD＝2(2)过O点作OG⊥AM于G，∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°，∴BC＝22，∴BG＝CG ＝2，∴OG＝ 2.∵∠A＝30°，∴OA＝22，∴x＝AD＝22－2第2课时切线的判定与性质1．经过半径的__外端___，并且__垂直___于这条半径的直线是圆的切线．2．圆的切线必__垂直___于过__切点___的半径．知识点1：切线的判定1．下列说法中，正确的是( D)A．AB垂直于⊙O的半径，则AB是⊙O的切线B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线D．圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线2．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为__∠ABC＝90°___．3．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°.求证：CD是⊙O的切线．解：连接OC.∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A ＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线4．(2014·孝感)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.(1)先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)请你判断(1)中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．解：(1)如图(2)AB与⊙O相切．证明：作OD⊥AB于点D，∵BO平分∠ABC，∠ACB＝90°，OD⊥AB，∴OD＝OC，∴AB与⊙O相切知识点2：切线的性质5．(2014·邵阳)如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB 与⊙O相切，切点为B.已知∠A＝30°，则∠C的大小是( A)A．30°B．45°C．60°D．40°,第5题图),第6题图),第7题图) 6．如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO＝5，PA切⊙O于A点，则PA ＝__4___.7．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切于点A.若∠MAB ＝30°，则∠B＝__60°___.8．如图，等腰△OAB中，OA＝OB，以点O为圆心作圆与底边AB相切于点C.求证：AC＝BC.解：∵AB切⊙O于点C，∴OC⊥AB.∵OA＝OB，∴AC＝BC9．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，且CO ＝CD ，则∠PCA ＝( D )A ．30°B ．45°C ．60°D ．67.5°,第9题图),第10题图),第11题图)10．如图，已知线段OA 交⊙O 于点B ，且OB ＝AB ，点P 是⊙O 上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是( A )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A ，点C 是EB ︵的中点，则下列结论不成立的是( D )A ．OC ∥AEB ．EC ＝BCC ．∠DAE ＝∠ABED ．AC ⊥OE 12．(2014·自贡)如图，一个边长为4 cm 的等边三角形ABC 的高与⊙O 的直径相等．⊙O 与BC 相切于点C ，与AC 相交于点E ，则CE 的长为__3___cm .,第12题图) ,第13题图)13．如图，直线PA 过半圆的圆心O ，交半圆于A ，B 两点，PC 切半圆于点C ，已知PC ＝3，PB ＝1，则该半圆的半径为__4___．14．(2014·毕节)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，连接CD.(1)求证：∠A ＝∠BCD.(2)若M 为线段BC 上一点，试问当点M 在什么位置时，直线DM 与⊙O 相切？并说明理由．解：(1)∵AC 为直径，∴∠ADC ＝90°，∴∠A ＋∠ACD ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°，∴∠A ＝∠BCD (2)当点M 是BC 的中点时，直线DM 与⊙O 相切．理由：如图，连接DO.∵DO ＝CO ，∴∠1＝∠2.∵∠BDC ＝90°，点M 是BC 的中点，∴DM ＝CM ，∴∠4＝∠3.∵∠2＋∠4＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴直线DM 与⊙O 相切15．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC 的平分线交AC 于点D ，求∠CDP 的度数．解：∵PC 是⊙O 的切线，∴OC ⊥OP ，即∠OCP ＝90°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACB －∠OCB ＝∠OCP －∠OCB ，即∠ACO ＝∠BCP.又OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ，∴∠BCP ＝∠BAC.∵PD 是∠APC 的平分线，∴∠CPD ＝∠APD.∵∠ABC ＝∠CPD ＋∠APD ＋∠BCP ，∠BAC ＋∠ABC ＝90°，∴∠BAC ＋∠CPD ＋∠APD ＋∠BCP ＝90°，∴∠CDP ＝∠APD ＋∠BAC ＝45°16．(2014·德州)如图，⊙O 的直径AB 为10 cm ，弦BC 为6 cm ，D ，E 分别是∠ACB 的平分线与⊙O ，AB 的交点，P 为AB 延长线上一点，且PC ＝PE.(1)求AC ，AD 的长；(2)试判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由．解：(1)连接BD.∵AB 是直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2－BC 2＝102－62＝8(cm )．∵CD 平分∠ACB ，∴AD ︵＝BD ︵，∴AD ＝BD.在Rt △ABD中，AD 2＋BD 2＝AB 2，∴AD ＝22AB ＝22×10＝52(cm )(2)直线PC 与⊙O 相切．理由：连接OC.∵OC ＝OA ，∴∠CAO ＝∠OCA.∵PC ＝PE ，∴∠PCE ＝∠PEC.∵∠PEC ＝∠CAE ＋∠ACE ，∴∠PCB ＋∠ECB ＝∠CAE ＋∠ACE.∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACE ＝∠ECB ，∴∠PCB ＝∠CAE ，∴∠PCB ＝∠ACO.∵∠ACB ＝90°，∴∠OCP ＝∠OCB ＋∠PCB ＝∠ACO ＋∠OCB ＝∠ACB ＝90°，∴OC ⊥PC ，∴直线PC 与⊙O 相切第3课时切线长定理1．经过__圆外___一点作圆的切线，这点与切点之间__线段___的长，叫做这点到圆的切线长．2．圆的切线长定理：从圆外一点可以引圆的__两___条切线，它们的切线长__相等___，这一点和圆心的连线__平分___两条切线的夹角．3．与三角形各边都__相切___的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的__内___心，它是三角形__三条角平分线___的交点．知识点1：切线长定理1．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB ＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( B)A．4B．8C．43D．8 3,第1题图),第2题图) 2．如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG在AB 上，若BG＝2－1，则△ABC的周长为( A)A．4＋2 2 B．6C．2＋2 2 D．43．(2014·天水)如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C在⊙O上，且∠ACB＝50°，则∠P＝__80°___．4．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∠OAB＝30°.(1)求∠APB的度数；(2)当OA＝3时，求AP的长．解：(1)∠APB＝60°(2)AP＝3 3知识点2：三角形的内切圆5．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC＝( A)A．130°B．120°C．100°D．90°6．已知△ABC的周长为24，若△ABC的内切圆半径为2，则△ABC的面积为__24___．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆的半径为__2___．8．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18 cm，BC＝28 cm，CA＝26 cm，求AF，BD，CE的长．解：根据切线长定理得AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD.设AE＝AF＝x cm，则CE＝CD ＝(26－x) cm，BF＝BD＝(18－x) cm.∵BC＝28 cm，∴(18－x)＋(26－x)＝28，解得x＝8，∴AF＝8 cm，BD＝10 cm，CE＝18 cm9．正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( B ) A ．2 B ．2 3 C . 3 D ．310．如图，AB ，AC 与⊙O 相切于点B ，C ，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B ，C 的一动点，则∠BPC 的度数是( C )A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50°,第10题图) ,第11题图)11．(2014·泰安)如图，P 为⊙O 的直径BA 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切，切点为C ，点D 是⊙O 上一点，连接PD.已知PC ＝PD ＝BC.下列结论：(1)PD 与⊙O 相切；(2)四边形PCBD 是菱形；(3)PO ＝AB ；(4)∠PDB ＝120°. 其中正确的个数为( A ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．112．如图，已知PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，点C 在⊙O 上，∠BCA ＝65°，则∠P ＝__50°___．,第12题图) ,第13题图)13．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，⊙O 的切线EF 分别交PA ，PB 于点E ，F ，切点C 在AB ︵上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是__4___．14．如图，点I 为△ABC 的内心，点O 为△ABC 的外心，若∠BOC ＝140°，求∠BIC 的度数．解：∵点O 为△ABC 的外心，∠BOC ＝140°，∴∠A ＝70°.又∵点I 为△ABC 的内心，∴∠BIC ＝180°－12(180°－∠A)＝90°＋12∠A ＝125°15．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，AC ，PB 的延长线相交于点D.(1)若∠1＝20°，求∠APB 的度数；(2)当∠1为多少度时，OP ＝OD ？并说明理由．解：(1)∵PA 是⊙O 的切线，∴∠BAP ＝90°－∠1＝70°.又∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ＝PB ，∴∠BAP ＝∠ABP ＝70°，∴∠APB ＝180°－70°×2＝40° (2)当∠1＝30°时，OP ＝OD.理由：当∠1＝30°时，由(1)知∠BAP ＝∠ABP ＝60°，∴∠APB ＝180°－60°×2＝60°.∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴∠OPB ＝12∠APB ＝30°.又∵∠D ＝∠ABP －∠1＝60°－30°＝30°，∴∠OPB ＝∠D ，∴OP ＝OD16．如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF.(1)求证：OD ∥BE ；(2)猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由．解：(1)连接OE ，∵AM ，DE 是⊙O 的切线，OA ，OE 是⊙O 的半径，∴∠ADO ＝∠EDO ，∠DAO ＝∠DEO ＝90°，∴∠AOD ＝∠EOD ＝12∠AOE.∵∠ABE ＝∠OEB ，∠ABE ＋∠OEB＝∠AOE ，∴∠ABE ＝12∠AOE ，∴∠AOD ＝∠ABE ，∴OD ∥BE(2)OF ＝12CD ，理由：连接OC ，∵BC ，CE 是⊙O 的切线，∴∠OCB ＝∠OCE.同理：∠ADO ＝∠EDO.∵AM ∥BN ，∴∠ADO ＋∠EDO ＋∠OCB ＋∠OCE ＝180°，∴∠EDO ＋∠OCE ＝90°，∴∠DOC ＝90°.在Rt △DOC 中，∵F 是DC 的中点，∴OF ＝12CD专题训练(七) 切线证明的方法一、有交点，连半径，证垂直 (一)利用角度转换证垂直1．如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥OB ，交AB 于E ，且AD ＝ED.求证：AD 是⊙O 的切线．解：连接OA.∵OA ＝OB ，∴∠B ＝∠OAB.又∵AD ＝DE ，∴∠DAE ＝∠DEA ，而∠DEA ＝∠BEO ，∠B ＋∠BEO ＝90°，∴∠DAE ＋∠OAB ＝90°，∴OA ⊥AD ，∴AD 是⊙O 的切线2．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B ＝60°，CD 是⊙O 的直径，点P 是CD 延长线上的一点，且AP ＝AC.求证：PA 是⊙O 的切线．解：连接OA.∵∠B ＝60°，∴∠AOC ＝120°，∴∠AOP ＝60°，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠ACP ＝12∠AOP ＝30°，又∵AP ＝AC ，∴∠P ＝∠ACP ＝30°，∴∠PAO ＝90°，∴OA ⊥AP ，∴PA 是⊙O 的切线(二)利用全等证垂直3．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC，弦AD∥OC.求证：CD是⊙O 的切线．解：连接OD.由SAS证△CBO≌△CDO，得∠CDO＝∠CBO＝90°，∴CD⊥OD，∴CD是⊙O的切线(三)利用勾股定理逆定理证垂直4．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为⊙O上一点，PC＝8，PB＝4，AB＝12.求证：PC是⊙O的切线．解：连接OC.根据题意，可得OC＝6，PO＝10，PC＝8，∴OC2＋PC2＝PO2，∴△POC 为直角三角形且∠PCO＝90°，∴OC⊥CP，∴PC是⊙O的切线二、无交点，作垂直，证半径5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以D为圆心的圆与AB相切于点E.求证：AC与⊙D相切．解：连接DE，过D作DF⊥AC于F，易证△BDE≌△CDF，∴DF＝DE，∴AC与⊙O 相切6．如图，同心圆O，大圆的弦AB＝CD，且AB是小圆的切线，切点为E.求证：CD 是小圆的切线．解：连接OE，过O作OF⊥CD于F.∵AB与小⊙O切于点E，∴OE⊥AB，∵AB＝CD，∴OE＝OF，∴CD与小⊙O相切7．如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠ADC.(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若AD ＝4，BC ＝9，求⊙O 的半径R.解：(1)过O 作OE ⊥CD 于点E.∵AM 切⊙O 于点A ，∴OA ⊥AD ，又∵DO 平分∠ADC ，∴OE ＝OA ，∴CD 是⊙O 的切线 (2)过D 点作DF ⊥BC 于点F ，易证四边形ABFD 是矩形，∴AD ＝BF ，AB ＝DF ，又∵AD ＝4，BC ＝9，∴FC ＝9－4＝5.又∵AM ，BN ，CD 分别切⊙O 于点A ，B ，E ，∴DA ＝DE ，CB ＝CE ，∴DC ＝AD ＋BC ＝4＋9＝13.在Rt △DFC 中，DC 2＝DF 2＋FC 2，∴DF ＝12，∴AB ＝12，∴⊙O 的半径R 是6三、与切线证明方法有关的综合问题 8．(2014·江西)如图①，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AB ＝4，BC ＝2，P 是⊙O 上半部分的一个动点，连接OP ，CP.(1)求△OPC 的最大面积； (2)求∠OCP 的最大度数；(3)如图②，延长PO 交⊙O 于点D ，连接DB ，当CP ＝DB 时，求证：CP 是⊙O 的切线．解：(1)△OPC 的边长OC 是定值，∴当OP ⊥OC 时，OC 边上的高为最大值，此时△OPC 的面积最大．∵AB ＝4，BC ＝2，∴OP ＝OB ＝2，OC ＝OB ＋BC ＝4，∴S △OPC ＝12·OC·OP＝12×4×2＝4，即△OPC 的最大面积为4 (2)当PC 与⊙O 相切，即OP ⊥PC 时，∠OCP 的度数最大，可求∠OCP ＝30°(3)连接AP ，BP.∵∠AOP ＝∠DOB ，∴AP ＝DB.∵CP ＝DB ，∴AP ＝PC ，∴∠A ＝∠C.∵∠A ＝∠D ，∴∠C ＝∠D.∵OC ＝PD ＝4，PC ＝DB ，∴△OPC ≌△PBD ，∴∠OPC ＝∠PBD.∵PD 是⊙O 的直径，∴∠PBD ＝90°，∴∠OPC ＝90°，∴OP ⊥PC.又∵OP 是⊙O 的半径，∴CP 是⊙O 的切线。