所以，知道电势 U (x, y, z) 便可求场强 E(x, y, z) 。
求场强的三种方法: 1、由电荷分布及叠加原理计算。
2、由高斯定理计算。
3、场强与电势梯度的关系。 E U
思考：求场强三种方法的应用条件。
[例5] 一均匀带电圆板，半径为R，已知面电荷密度。求圆板轴 线上的电势和场强分布。
计算电势的两种方法:
1、 由 定 义 式 U
0
E
•
dl 求
。
a
2、由叠加原理求。 U dq
4 0r
思考及讨论题: 1、、下列说法是否正确?如不正确,请举一反例加以论述.
(1)场强相等的区域,电势也处处相等.
(2)电势相等处,场强也相等. (3)场强大处,电势一定高. (4)场强为零处,电势一定为零. (5)电势为零处,场强一定为零.
复习
1、电场线的性质:
1)起于正电荷(或无穷远)， 终止于负电荷(或无穷远) 在无电荷处不间断也不相交，称为有源场。
2)电场线不闭合，称为无旋场。故静电场是有源无旋场。
2、电通量的定义:
de E d S
3、高斯定理:
e
E dS
S
qi
0
4、求电场强度的两种方法:
1)由给定的电荷分布，利用场强的定义式和叠加原理计算。
3、由电势求一个点电荷的电势能,或由电势差求电场力对电荷
作的功. Wa qUa , Aab Wa Wb qUab
四、电势叠加原理：
1、点电荷的电势 ：
U p
Edl
r
E
d r
r
r
q
4 0
dr r2
q
4 0r
即：
q U
4 0r
U的 符 号 与q的 符 号 相 同
2、点电荷系的电势:
等于单位正电荷所具有的电势能。 等于单位正电荷沿任意路径从该点移动 到 零电势点
的过程中,电场力所作的功。 等于电场强度从该点到零电势点的线积分。
若形成电场的电荷在有限远范围内，则:
Ua
Wa q0
E dl
a
说明：电势（也称电位）是描述静电场性质的基本物理量，
是标量函数。
2、 (电压)ΔU：
如果选b点的电势能为零，则
零点
Wa q0 a E d l
电荷在静电场中某点具有的电势能等于将该电荷从该点沿 任意路径移到零势能点时电场力所作的功。
电势能是相对的，若选 P0 点电势能为零, 则有
WP
q0
P0 P
E
dl
,
点p0是势能零点。
若电荷分布在有限范围内，习惯取无穷远处电势能为零，则
2)利用高斯定理计算。 (要求电荷分布具有一定的对称性)
§10 - 4 电势 (Electric Potential )
一、静电场的环路定理：
1、静电力的功：
设 q 为激发电场的场源电荷，点电
荷 q0 从A 沿一路径运动到B 。
d A F d l q0E d l q0E cos d l
电势参考点选取原则：使电场中各点的电势有确定的有限值的前 提下，能使电势的解析式最简单的参考点是最恰当的参考点。
确U定最恰E 当dl参考C点 的方法dx： C x C
2 0
2 0
当： U 0 时令 C 0 则 x 0
势函数的解析式为： U x 2 0
dx x
E i
2 0
这是势函数最简单的解析式。所以 x 处0 是最恰当的参考点。
a
E cosl Ell
U lim Ell
l
l0 l
当 dl dxi 时 Ex
所以
E
( U
i
El
U x
U
j
同样有：Ey
U
k)
U
U y
x y z
Ez
U z
在静电场中,场强等于该点电势梯度的负值。
电场强度的大小为:
E
E
2 x
E
2 y
E
2 z
U x
2
U y
2
U z
2
a
b
ra
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
rb
若选距导线1m 处的b 点为零电势点,a 点电势为：
Ua
rb ra
2
0r
d
r
2
0
ln
ra
以上结果表明: 当r = 1m 时,U = 0 ;
当r > 1m 时,U < 0 ;
当r < 1m 时,U > 0 。
[例4] 一均匀带电的无限大平板,面电荷密度为σ。求平面外一点
a的电势.
静电场的环路定理 ： 在静电场中，电场强度沿任一闭合路径的线积分（电
场强度的环流）恒为零。
LE d l 0
讨论: 1）单位正电荷在静电场中移动一周,电场力的功为零。
静电场的环路定理也是静电场力为保守力的反映.
2）静电场的环路定理和高斯定理共同反映静电场的性质。
高斯定理:
SE
dS
q
0
环路定理: LE d l 0
q0E d r
q0
q
4 0r 2
d
r
AAB
B
d A
A
q rB
rA 0
q 4 0r2
dr
q0q 4 0
(1)
1 r
rB rA
q0q
1 (
1 )
4 0 rA rB
说明: 静电场力所作的功与路径无关，仅与运动电荷的初、
末位置有关。
可以推广：任何静电场力所作的功与运动电荷的路径无关， 仅与运动电荷的初、末位置有关。
Up P Edl
p (E1
E2
En) dl
U
p1
U
p2
U
pn
UP
i
Uip
n 1 qi
i1 4 0 ri
点电荷系在某点的电势等于各个点电荷 单独存在在该点产生的电势的代数和.
3、连续分布的带电体的电势：
dU 1 d q
4 0 r
U
1
4 0
dq r
三种典型的电荷分布情况 ：
U E dl E d r
p R
0dr
p
Q
r
4 0
d r Q
R r2 4 0R
r'
E
对球外的P点，其电势为
U
r
4 0
r 2
Q dr
Q
4 0r
o
r
U
因而均匀带电球面内外的电势分布为:
1Q
U内 4 0 R
1Q
U外 4 0 r
o
Rr
注意：
1）对有限大小的带电体,通常选无限远处为零电势点；
记为：
grad
i
j
k
n
x y z
标量场的梯度的方向总是与等值面正交，并沿标量增加最快的方向。
电势的梯度
gradU
U
U
i
U
j
U
k
x y z
电势的梯度的方向总是与等值面正交，并沿标量增加最快的方向。
（2）电场强度与电势的微分关系
E
电场强度与电势梯度的方向相反
b
U Ub Ua
E dl
解: 若取无穷远处为电势零点，沿垂直
带电平面的路径积分，则
U E dl
dr
a
a 2 0
dl
a dl
E
2 0
若取无穷远处为电势零点，沿平行 带电平面的路径积分，则
U a E dl 0
上述结果都不合理并且相互矛盾。其原因是：逻辑上的矛盾。
电荷分布在无限空间时，一般可取有限远处为电势参考点。
有源场静电场是有源无旋场 无旋场
二、电势能:
任何做功与路径无关的力场，叫做保守力场或有势场。 静电力是保守力,静电场是保守力场。在静电场中可以引入 电势能。电场力所作的功等于电势能增量的负值.
Ab 保
W
Aab q0 a E d l (Wb Wa ) Wa Wb
即：
Wa Wb
b q0 a E d l
证明：因电荷沿等势面移动时，电场力不做功
设A、B是等势面上的两点，则有:
•B
而
AAB
qB(UA
U
B
)
0
AAB
E dl
A
qE cosl 0
•A
其中q, E, l都不为零 故 cos 0 , 2
在任何静电场中，电场线与等势面正交。
2、等势面密处场强大，稀疏处场强小
3、电场线的方向指向电势降落的的方向。
若取 x 0 处的点(即平面处)为零电势点，则距平面 x 处
的电势为: U x 2 0
结论：确定最恰当参考点的方法是：作不定积分，通过令U 0
取积分常数等于零可得到最恰当的参考点和最简单的势 函数。
六、等势面： 电势相等的点在空间连成的曲面(或平面)称为等势面。
等势面的三条性质∶
1、等势面与电场线正交。
有:
Wp q0 p E d l
[例]：q0 在 Q 的场中a 点的电势能(选无穷远处为零电势能点)
Wa
q0
a E dl q0
Q
ra 40r2 d r
q0Q
1 (1)
q0Q
4 0
r ra
4 0ra
三、电势与电势差： 1、电势 U 定义：
Ua
Wa q0
p0
E
dl
a
电势的物理意义：
U
1
4
0
dV