为：
O
r dF21
0 4
(
I
2
r dl2
r I1dl1
r aR
)
R2
F12
0 4
C2
C1
上式中：
R
r2
r1,
aR
将上式进行改写：
I2dl2 (I1dl1 aR )
R2
R R
,
4
107 H
/
m
dF12
I2dl2
[ 0 4
dF12
I2dl2
dB
其中：
dB
0
4
I1dl1 R2
V
lim q V 0 V
C / m3 Δq是体积元ΔV内的电荷。
➢分布电荷电场强度的计算（以体电荷为例）
在V内取一微小体积元
dV′其电荷量：
dq V dV '
它在场点P处产生的
电场为：
r dE
dq
40
r R R3
V 40
r R R3
dV
体积V内所有电荷在P(r)处所产生的总电场为：
r
E
1
40 V
➢运流电流：由真空或气体中，电荷的流 动形成。
单位时间内通过某一横截面的电量，简称 为电流。其强弱用电流强度来表征
i lim q dq t0 t dt
i是标量,它只能描述一根导线上总的电流的 强弱，并不反映电流在每一点的流动情况。
假定体电荷密度
为ρV的电荷以速度v沿
某方向运动， 如图所 示。 设在垂直于电荷 流动的方向上取一面
V
R3
r RdV
用类似的方法可求得电荷分布为ρS(r′)和
ρl(r′)时电场强度的表达式分别为
r
E
1
S
r RdS
40 S R3
r
E
1
4 0
l
l
R3
r Rdl
小结：求分布电荷电场强度的步骤
➢ 无限细分该区域；
➢ 分析每一个区域； ➢ 叠加原理。
2.电位函数
➢电压（电位差）
P
若在静电场中放一试验电荷 qt 两点电荷q1与q2之间的作用力：
➢正比于它们的电荷量的乘积；
➢反比于它们之间距离的平方；
➢作用力的方向沿两者间的连线；
➢两点电荷同性为斥力，异性为吸力.
适用条件
➢两个可视为点电荷的带电体之间
相互作用力;
➢无限大真空情况.
0
109
36
8.851012 F
/m
可推广到无限大各向同性均匀介质中 (0 )
➢电位
如果我们在场中任意选定一点，例如P点， 作为参考点。则单位正电荷由场中任一点A移 到参考点P时，电场力所做的功将仅随A点的 坐标而异。此时把积分：
Pr r
A A E dl
即A点移到参考点的电压，称为A点的电位。
显然，参考点处的电位：P
P P
rr E dl 0
通常，参考点选在无穷远处,即：
(ar
2 cos
a
sin )
电力线与等位线（面）的性质：
➢E线不能相交; ➢E线愈密处，场强愈大;
➢E线与等位线（面）正交；
3.磁感应强度（磁通密度矢量）
➢电流和电流密度 电荷在电场的作用下发生宏观运动，形
成真实的电流。这样的电流又有传导电流 和运流电流之分。
➢传导电流：由导电媒质（导体、半导体、 漏电介质）中，电荷的流动 形成；
➢磁通连续性原理又称磁场中的高斯定律，表明 穿过一个封闭曲面S的磁通量等于离开这个封闭 曲面S磁通量，换句话说，磁通永远是连续的；
➢磁场的散度处处为零，说明恒定磁场是无散 场；（在任意媒质中均成立）。
➢得磁：场B应的该散可度以为用零一，个由矢恒量等函式数的旋度• (来表 示A)； 0
➢矢量磁位
• B＝0
A
1
4 0
n i 1
qi Ri
类似的方法可得分布电荷的电位函数的 表达式分别为
1 V (r) dV
4 0 V R
1
4 0 l
1
4 0 S
l (r) dl
R
S (r) dS
R
电位分布也可用图形表示，即将电位相 等的各点联成曲线或曲面，这些线或面称为 等位线或等位面。电荷在等位面上移动时， 电场即不对电荷作功，也不会获得能量。
➢电场力符合矢量叠加原理
(2)电场强度
既然我们已经知道怎样计算静止电荷 之间的力,为什么还要定义一个场量呢?
远距作用
近距作用 ①电场强度的定义
设q为位于S（x’,y’,z’）处的
点电荷， 在其电场中点P
(x, y, z)处引入试验电荷
x
qt.
z q
R1 0
R2-R1=R qt
R2
y
实验证明,qt受到的作用力的大小与自 身所带电量qt成正比,与电荷所处位置的电 场强度（Electric Field Intensity）成
I1dl1
R2
aR
]
取决于电流回路C1的
电流分布及源点到场
点的距离矢量R， 而 与电流回路C2无关，
aR
电流元 磁场。
I1d在l1 周围空间产生的
B
0
4 C1
I1dl1
aR
R2
磁C场在1。周围空间产生的
所以，任意电流回路C周围的磁场分布为：
B(r) 0
Idl aR 单位 T（wb/m2）特斯拉
很近的两个等值异号的电荷。
R1
设每个电荷电量为q，
R2
相距为d， 则电偶极子在点
P的电位及电场:
图1.2.2 电偶极子
q
4 0
1 R1
1 R2
q
4 0
R2 R1 R1R2
当两电荷之间距相对于到观察点的距离 非常小,即R>>d时,R1, R2, R三者近乎平行， 因此有:
R2-R1≈d cosθ R1R2≈R2
所以，如果检验电荷在静电场中由P点移动
到A点，外力所做的功为： A r r
W qt E • dl
P
定义它与qt 的比值定义为作用在P到A路径上
的电压：
AP
W
qt
Ar r E • dl
P
两点间电压等于在场 中由一点向另一点移动
Pr r
E • dl
单位正电荷时，外力做 的功。
A
➢静电场中电场力作的功与路径无关
正比，即：
F qt E
所以：
r E
lim
r F
q qt 0 t
qt应该尽可能小。
➢当电场强度形成的矢量场在空间的分布 各点相同时称之为均匀电场。
➢电场强度的大小与检验电荷的大小无关。
对真空中的点电荷r ： r
r
F qR
E lim
q qt 0 t 40R3
➢对运动的电荷，上式仍然成立。
➢电场强度的方向与正检验电荷的受力方 向一致。
B(r) 0
4 V
B(r) 0
4 S
J (r) R2
aR
dV
J S (r) aR R2
dS
比较：
安培力
F12 C2 I2dl2 B
库伦力
r
F
q
4 0
V
dV
R2
ar R＝qEr
4.矢量磁位
➢磁通B连称续为性磁原通理密度矢量，所以穿过闭合曲
面S的磁通量为：
rr
B • dS
Ñs
4 C
R2
上式称为毕奥—萨伐尔定律（Biot Savart's Law）， 它表示载有恒定电流I的导线在场点r 处所产生的磁通密度。 注意， B, dl′和aR 三者 互相垂直， 并遵循右手螺旋关系。
若产生磁通密度的电流不是线电流， 而是
体电流分布J(r′)或面电流分布 JS(r′)， 则
它们所产生的磁通密度分别为
➢电场强度满足叠加原理。
②分布电荷的电场强度
➢分布电荷密度 线电荷密度（Charge Line Density）：
l
lim
l 0
q l
C / m Δq是长度元Δl上的电荷。
面电荷密度（Charge Area Density）：
S
lim S 0
q S
C / m2 Δq是面积元ΔS上的电荷。
体电荷密度（Charge Volume Density）：
积元ΔS， 若流过ΔS 的 电 流 为 ΔI ， 则 定
义矢量 J的大小为
V S
l
J lim I dI S0 S dS
流 动 方向
J的方向规定为正电荷在该点的运动方向， 单位为A/m2。
面S的已电知流电强流度密为度：后，I则流过J体•积d内s任意曲
s
导体中每一点都有一个电流密度，因而 构成一个矢量场。我们称之为电流场。而电 流密度处处相等的电流场即为恒定电流场或 恒定电场。
r
Pr r P q r r
A
r dl
E
AP E • dl A
A 40R2 aR • dl
RA q
q RP 1 r r
q 1 RP
RP
P
4 0
RA R2 aR • aRdR
4 0
dR R2
RA
q（1－1）
40 RA RP
静电场中电场力作的功 与路径无关，只取决于 始点和终点的位置，所 以静电场是保守场，也 称位场。
电磁学基本理论
场量的定义和计算 电磁学基本理论 麦克斯韦方程组
一、场量的定义和计算
1.电场强度
（1）库仑定律