３）
84 Yamakawa F-logic I.C (模糊集成电路)
85 IFSA 成立国际模糊系统协会
我国：70 年代 王培庄，开始主要是理论研究，并且与经典数学相对应的各个领域都
有人研究，现在研究、利用模糊技术的领域已经深入到社会、经济等各个方面。
杂志：
*FSS-Fuzzy Set and Systems，
一、模糊数学简介、教学安排、
普通集合
（一）简介
1． 发展历史
美：65 L.A.zadeh 信息与控制（理论研究开始）
英：74 马丹尼
蒸汽机控制，８０年丹麦哥本哈根的史密斯水泥公司首次用模
糊系统实现了对水泥窑炉的控制。８８年，日立公司使日本仙台市地铁实现了模糊控制。
日：72 Sugeno
F-measure 语音控制模糊汽车（８８），无人驾驶直升机（９
（３）特征函数定义
定义：设 X 为论域， A X ，称映射
A : X { 0 , 1}
1, x A
x |

A (x)

0,
x A
( A B )( x ) min{ A ( x ), B ( x )} A ( x ) B ( x )
Ac (x) 1 A(x)
*IEEE Transactions on Fuzzy Systems (1993),
*Fuzzy Mathematics etc.
IEEE 从１９９２年起，每年召开一次国际模糊学术会议。１９９５年 IEEE 给 Zadeh
授予了学会的荣誉勋章。
２．趋势
（1）研究与应用人数逐年上升
（2）应用领域逐步扩大，遍及社会，经济等等各个领域，如：
*在软科学方面，模糊技术已用到了投资决策、企业效益评估、区域发展规划、经济宏
观调控、中长期市场模糊预测等领域。
*工业过程控制方面，已实现了冶金炉窑模糊控制、化工过程模糊控制、水泥窑炉模糊
控制以及磨煤机模糊控制等。
*在人工智能与计算机领域，已经出现了模糊推理机、模糊控制计算机、模糊专家系统、
模糊数据库、模糊语音识别系统、图形文字模糊识别系统、模糊控制机器人等高新技术产
A c (x) 1 A(x)
5
5．性质：除互补律（补余律）外均成立。
例 4．考虑 X 0,1 ， A( x ) x
~

Y (x)
x 25 2 1
1
5
, 25 x 100
例 3 考虑五个人构成的论域：
X x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5
x x x x x 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5
~ 体温：39.8, 39.3, 38.5, 37.5, 36.5 “发高烧的人”= A
３．运算 并： A B 交： A B 差： A B 余(补)： A c
对称差： A B ( A B ) ( A B
4．性质
①幂等律： A A A ， A A A
②交换律： A B B A ， A B B A
③结合律：
④分配律：
⑤吸收律： A ( A B) A ， A ( A B) A
① a at ,t T ② b at ,t T b a
为集合 A 的特征函数。 A 由 A 唯一确定， A 也由 A 唯一确定。
定义： a 是{at } 的下确界，如果 a 满足
3
① a at ,t T ② b at , t T b a
A B A(x) B(x)
A B A(x) B(x)
A A(x) 0, x X
A X A(x) 1, x X
( A B)(x) max{ A(x), B(x)} A(x) B(x)
( A B)(x) min{A(x), B(x)} A(x) B(x)
（3）与其它学科结合越来越紧，如：
模糊神经网络
模糊遗传算法
……………………
（二）教学安排（课程内容）：
(1)基本理论
*普通集合
1
*模糊集合
1
*分解定理
1
*隶书函数确定的若干方法
1
*模糊关系
3
*扩张原理与模糊数
2
（2）应用
*模糊模式识别
2
*模糊聚类分析
2
*模糊综合评判
2
*模糊推理（逻辑）
2
*模糊控制
2
（3）复习总结
1
说明：不要想着学完这门课程就能解决你的问题，应该仔细研究、明确你要解决的问
题，再考虑如何解决。
本课程的目的：一是学习、了解模糊数学的基本理论，为进一步学习打下基础（如果
需要）；二是了解一些模糊数学的应用领域和应用方法。
（三）普通集合
1．基本概念：只有描述性定义，是数学里最基本的概念
记号 X，Y，A，B……..
品，同时还出现了 F-Prolog、Fuzzy-C 等语言系统。
*在地震科学方面，模糊技术已涉及到中长期地震预报、地震危险分析和潜在震源识别、
地震灾害预测以及减轻地震灾害对策等等。
3 *在航空航天及军事领域，模糊技术已用到了飞行器对接、C I 指定自动化系统等方面。
*模糊家电产品：模糊洗衣机，空调，烤箱，照相机，摄象机，……
x1 1 ； x 2 0 .9 ； x 3 0 .5
x 4 0.1 ； x 5 0
3.模糊集合的表示法 ① zadeh 表示法
论域 X x 1 , x 2 , , x n 或 X x 1 , x 2 , x n ,
~
~
~ A
A ( x1 )
③ 模糊向量表示法
~~
~
A ( A ( x1 ), A ( x n ))
~ X 中第 k 个元素 xk 的隶属度 A(xk ) ak 作为模糊向量 A 的第 k 个分量。
~ ④ 解析表示法：X 为 R 上某区间，给出 A(x) 表达式。
~ 为书写方便以后用 A 代替 A 。 4．关系与运算（对模糊集合是重新定义）

An {1}
n1
这样就在 P(X ) 和｛映射｜X 到｛０，１｝的映射｝之间建立了一一对应
关系。以后经常使用特征函数代替集合，并用 A( x) 代替 A (x) 。
（４）用特征函数及其之间关系和运算表示集合之间的关系和运算
A B A(x) B(x) A B A(x) B(x) A A(x) 0, x X A X A ( x ) 1, x X ( A B )( x ) max{ A ( x ), B ( x )} A ( x ) B ( x )
A(xn )

n
~ A(xi )
x1
xn
i 1
xi
或
~
A
~
~
A ( x1 ) A ( xn )

~ A(xi)
x1
xn
i 1
xi
或写成：
~ A

X
~ A (x)
x
（无 dx ）
② 序偶表示法
~
~
~
A ( A ( x 1 ), x 1 ), ( A ( x n ), x n ),
1．模糊概念：外延不分明的概念，如：
“伟人”、“聪明人”、“健康人”、“正直的人”“年轻人”，……“阴天”、“质量好”、“不 稳定”，…… 和普通集合的差别是什么？
我们知道：给定论域 X ，子集 A X
x X ， x A 或 x A 二者必居其一且仅居其一。
A A
1, x完 全 属 于 A A(x)

Bn N {1, 2,}，
n1

Bn
n1
６．映射与特征函数
x （１）映射：设 X ,Y 是两个集合，如果有一个法则 f ，使得对于 X 中任意元素 ，都
Y y 有 中唯一元素 与之对应，则称 f 是 X 到 Y 的映射。
＊ 以前见过映射吗？ 单射：
满射：
一对一映射：
（２）映射的性质：①～⑩条，见６－７页，自看，自证，会用。 举几个映射例子
x X
1
A B
相等 有限集合、无限集合
幂集： P ( X ) X 的 子 集
2． 集合表示方法
① A ={ 模糊数学，计算方法，……} N ={1,2,3,……}
② 条件表示法
X 人 其身高大于 1 .7 米
X x P ( x ) P ( X ) A A X
两个模糊子集，隶属函为：
0,
0 x 50
~

O (x)
x 50 2 1
1
5
, 50 x 100
4
~ O ( 60 ) 0 .8 ~ O (80 ) 0 .97
1,
0 x 25
⑥两极律：
⑦复原律：
⑧补余律：
(A B)c Ac Bc (A B)c Ac Bc
⑨对偶律：
，
，
可以推广到任意有限多个集合。
５．集合族的并与交
A t ， t T ，常见指标集： T {1, 2 , , n , } N
T [0, 1]
定义： A t { x t T
0, x完 全 不 属 于 A
例 1 考虑“发高烧”这个（模糊）概念 论域 T=[30，45 ] 36， 37， 38．5，39， 39.5 39.8，…… 38.5 度算不算发高烧？ 不好回答，用一个数描述发高烧的程度，如：38.5 对应 0.5，即 38.5 属