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模糊数学简介
模糊数学
模糊数学的产生及背景
模糊数学的思想和原理
模糊数学的应用范围
模糊数学的特点
模糊数学的应用实例

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模糊数学的产生及背景
在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多 种事物的运动规律中，获得显著效果。但是，在客观 世界中还普遍存在着大量的模糊现象。以前人们回避 它，但是，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模 糊性总是伴随着复杂性出现。就必须研究和处理模糊 性。 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法。 众所 周知，经典数学是以精确性为特征的。然而，与精确 形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的。 甚 至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好。
A(x)
x 140 190 140
也可用Zadeh表示法：
A

0 x1

0 .2 x2

0 .4 x3

0 .6 x4

0 .8 x5

1 x6
模糊集的运算
相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)≤B(x)； 并：A∪B的隶属函数为 (A∪B)(x)=A(x) ∪ B(x)； 交：A∩B的隶属函数为 (A∩B)(x)=A(x) ∩ B(x)； 余：Ac的隶属函数为 Ac (x) = 1- A(x)

模糊集合的表达方式
当论域X为有限集合{X1，X2，… Xn}时， （1）Zadeh表示法 ( ) ( )
A
A（ 1 ）


A
2
1

...
A
n
2

n
（2）序偶表示法 A={（x1, μA (x1),）(x2, μA (x2)),…（xn ,(μA xn）,}
模糊集的运算
模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除 了排中律以外，即 A∪Ac U， A∩Ac . 模糊集不再具有“非此即彼”的特点，这正是 模糊性带来的本质特征。 例 设论域U = {x1, x2, x3, x4, x5}(商品集)，在U上 定义两个模糊集： A =“商品质量好”， B =“商品质 量坏”，并设 A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1) B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0)
模糊数学的应用领域
模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个 领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、 医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功 的应用。
模糊数学的应用几乎渗透到自然科学与社会科学的所有领域： 1）软科学方面：投资决策、企业效益评估、经济宏观调控等 2）地震科学方面：地震预报、地震危害分析 3）工业过程控制方面：模糊控制技术是复杂系统控有效手段 4）家电行业：模糊家电产品,提高了机器的“IQ” 5）航空航天及军事领域：飞行器对接C3I指挥自动化系统，NASA 6）人工智能与计算机高技术领域：模糊推理机、F专家系统、F 数据库、F语言识别系统、F机器人等，F-prolog、F-C等 7）其它：核反应控制、医疗诊断等
（6）对模糊综合评价结果向量进行分析。
每一个被评价事物的模糊综合评价结果都是一个模 糊向量，这与其他方法中每一个被评价事物得到的 一个综合评价值是不同的，它包含了更丰富的信息。 例如：评价某种牌号的手表U={X1,X2,X3，X4}其中X1 表示外观式样，X2表示 走时准确，X3 表示价格， X4表示 质量。 评语集为V=（v1,v2,v3）分别表示很满意，满意， 不满意。
模糊数学的研究内容
例如，要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长 头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”。 尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他信 息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中 年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过 头脑的综合分析判断，就可以接到这个人。

3. 借用已有的“客观”尺度 在经济管理、社会科学中，可以直接借用已有 的尺度（经济指标）作为模糊集的隶属度。如在论 域X（设备）上定义模糊集A=“设备完好”，以 “设备完好率”作为隶属度来表示“设备完好”这 个模糊集是十分恰当的 4. 二元对比排序法 有些模糊集合，很难给出隶属度，可以通过两两比 较，容易确定两个元素相应隶属度的大小。先排序， 再用数学方法得到隶属函数。

模糊集的运算
则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”。
Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0) Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1)
则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”。 Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0)。 Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1)。 可见Ac B, Bc A 又 A∪Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, A∩Ac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .

隶属函数的确定
1. 模糊统计方法
与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比 喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内，则把 模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不动的 点”。 2. 指派方法（专家经验法） 一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。

隶属函数的确定
r 11 r 21 B ( b 1, b 2 ,... b p ) W * R ( w 1, w 2 ,... w n ) * ... r n1 r 12 r 22 ... rn 2 ... ... ... ... r1p r2p ... r np
例如3个年轻人x1,x2,x3属于年轻人的程度分别为 0.4,0.7,0.9模糊集合A ={（x1,0.4）,(x2,0.7),(x3,0.9)} (3) 向量表示法
A （ x 1） A ( x 2 ),... A ( x n )） （ A ,
模糊数学的隶属函数
例 设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一 个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为
11 12
r 21 R ... r n1
r 21 ... rn 2
... ... ...
r2p ... r np
1p
应用实例-模糊综合评判
（4）确定评价因素的模糊权向量W=（w1,w2,…wn） (5)将W与被评价事物的R合成得到各被评事物的模 糊综合评价结果向量B。

模糊集的并、交、余运算性质
幂等律：A∪A = A， A∩A = A； 交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A； 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)， (A∩B)∩C = A∩(B∩C) ； 吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩( A∪B)= A； 分配律：(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)； (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)； 0-1律： A∪U = U，A∩U = A； A∪ = A，A∩ = ； 还原律： (Ac运算
模糊数学是研究现实中许多界限不分明问题的一种数 学工具，其基本概念之一是模糊集合。利用模糊数学 和模糊逻辑，能很好地处理各种模糊问题。 模糊子集与隶属函数 设U是论域，称映射 A(x)：U→[0,1] 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属 函数，它表示x对A的隶属程度。 使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性。 当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而 A(x)就是它的特征函数. 可见经典子集就是模糊子集的 特殊情形.
确定隶属函数的注意事项
5）在许多应用中，由于认识的局限性，开始建立 一个近似的隶属函数，然后逐步改善。 6）判断隶属函数是否符合实际。不是看单个元 素隶属度的数值，而是看这个函数是否正确反映 了元素从属于集合到不属于集合这一变化过程的 整体特性。
应用实例-模糊综合评判
模糊综合评判的一般步骤如下： （1）确定评价因素的因素集。 X={X1，X2,…Xn}，即n个评价指标。 （2）确定评语等级论域。 V={V1,V2，…Vp}即等级集合，每一个等级集 合对应一个模糊子集。 （3）做出单因素评价。 建立模糊关系矩阵R对被评价事物每个因素Xi进行 r ... r r 量化。

模糊数学的研究内容
第二，研究模糊语言学和模糊逻辑。 人类自然语言具有模糊性，人们经常接受模糊 语言与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。 第三，研究模糊数学的应用。 目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、 模糊概率、模糊语言学、模糊逻辑学等分支。


模糊数学的研究内容
第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随 机数学的关系。
在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一 定只有“是”或“否”两种情况，而是用介于0和1之 间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。比 如“老人”是个模糊概念，70岁的肯定属于老人，它 的从属程度是 1，40岁的人肯定不算老人，它的从属 程度为 0，按照查德给出的公式，55岁属于“老”的 程度为0.5，即“半老”，60岁属于“老”的程度 0.8。查德认为，指明各个元素的隶属集合，就等于指 定了一个集合。当隶属于0和1之间值时，就是模糊集 合。
结语：
借助于模糊数学可以把定性、复杂性的模糊问 题简单化，定量化。但是模糊数学还远没有成熟， 对它也还存在着不同的意见和看法，有待实践去检 ： 验。
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确定隶属函数的注意事项
1）隶属函数的确定允许有一定的人为技巧，但 要以符合客观实际为标准。 2）某些情况下，隶属函数可以通过模糊统计实 验来确定，这是较为有效的调查方法。 3）利用推理方法确定隶属函数时要注意与实际 相符。 4）有些隶属函数可以经过模糊运算“并”、 “交”、“余”求得。