经典习题11. 若函数(21)f x +的定义域为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭,则函数2(log )f x 的定义域为( ) A.1,22⎛⎫⎪⎝⎭B.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.12⎛ ⎝ D.12⎡⎢⎣2. 若*(1)()1(f n f n n N +=+∈),且f(1)=2,则f(100)的值是( )A ．102B ．99C ．101D ．100 3. 定义R 上的函数()f x 满足：()()(),(9)8,f xy f x f y f f =+==且则（ ） AB ．2C ．4D ．64. 定义在区间（-1，1）上的减函数()f x 满足：()()f x f x -=-。

若2(1)(1)0f a f a -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是___________________. 5. 已知函数()f x 是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数,x y ,都有:()()()f xy f x f y =+成立.则不等式2(log )0f x <的解集是_____________________. 6. 已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

7. 已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足: ()()()f a b af b bf a ∙=+.(1)求(0),(1),(1)f f f -的值;(2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论;(3)若(2)2f =,*(2)()n n f u n N n-=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 8. 定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1；（2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

9. 已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1()()()2f m n f m f n +=++,且1()02f =,当12x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ;(2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 10.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1()13f >.(1)求(0)f 的值; (2)求证:()f x 在R 上是单调减函数;(3)若0a b c >>>且2b ac =,求证:()()2()f a f c f b +>. 11. 已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()(f m n f m f n +=∙,且当0x >时,0()1f x <<.(1)证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1; (2)证明:()f x 在R 上单调递减;(3)设A=22{(,)()()(1)}x y f x f y f ∙>,B={(,)(2)1,x y f ax y a R -+=∈},若A B =Φ,试确定a 的取值范围.12. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数,且它的图象关于直线1x =对称.(1)求(0)f 的值;(2)证明: 函数()f x 是周期函数;(3)若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时,函数()f x 的解析式,并画出满足 条件的函数()f x 至少一个周期的图象. 13. 函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。

（1）证明：(1)0f =；（2）若()(3)2f x f x +-≥成立，求x 的取值范围。

14. 设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==．（1）试判断函数()y f x =的奇偶性；（2）试求方程()f x =0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数， 并证明你的结论1. B2. A3. A4.0a <<,解:由2(1)(1)0f a f a -+-<得,2(1)(1)f a f a -<-,得2211111111a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩⇒02021a a a a <<⎧⎪<≠⎨⎪-<<⎩⇒0a <<5. {}12x x <<；解：令1x y ==，则(1)2(1f f =(1)0f ⇒=，则2(l o g )(1)f x f <⇒222l o g 1l o g l o g 22x x x <⇒<⇒<………..①∵函数()f x 是定义在(0,+∞)上的增函数 ∴2og 01l x x >⇒>,……………………………………………………②由①②得，不等式的解集为{}12x x <<。

6.a ≤；解：22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++等价于2222222222sin 33sin 311cos 32cos 205sin 1cos 1cos sin 14a x a x a a x a x a a x a x a a x x a a ⎧⎧⎧-≤-≤⎪-≤-⎪⎪⎪++≤⇒-≤-⇒-≤⎨⎨⎨⎪⎪⎪-≥++--≥+⎩⎩⎪--≥⎩⇒1221122a a a a a ⎧⎪≤≤⎪-⎪≤⇒≤≤⎨⎪-⎪≤≥⎪⎩7. （1）解：令0a b ==，则(0)0f = 令1a b ==，则(1)2(1)(1)0f f f =⇒= （2）证明：令1a b ==-，则(1)2(1)f f =-，∵(1)0f =，∴(1)f -=令,1a x b ==-，则()(1)()()f x xf f x f x -=--=- ∴()f x 是奇函数。

（3）当0ab ≠时，()()()f a b f b f a ab b a ∙=+，令()()f x g x x=，则()()()g a b g a g b ∙=+故()()n g a ng a =，所以1()()()()n n n n n f a a g a na g a na f a -=∙==∴1(2)11()22n n n f u f n --⎛⎫==∙ ⎪⎝⎭∵()111(2)2,(1)(2)220222f f f f f ⎛⎫==∙=+= ⎪⎝⎭∴111(2)242f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故()11122n n u n N -⎛⎫⎛⎫=-∙∈* ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()11122111212nn n s n N ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-∈* ⎪⎝⎭- 8. （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴)(1)(x f x f =-由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0)(1)(>-=x f x f 又x=0时，f(0)=1>0∴对任意x ∈R ，f(x)>0(3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴1)()()()()(121212>-=-⋅=x x f x f x f x f x f∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数（4）f(x)·f(2x-x 2)=f[x+(2x-x 2)]=f(-x 2+3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增∴由f(3x-x 2)>f(0)得：3x-x 2>0 ∴ 0<x<39. 8.（1）解：令12m n ==，则1111()2()2222f f +=+1(1)2f ⇒=（2）∵1(1),2f =111(1)(1)()()()1222f n f f n f n f n +=++=++=+ ∴(1)()1f n f n +-=∴数列{}()f n 是以12为首项,1为公差的等差数列,故(1)(2)(3)...()f f f f n ++++=(1)22n n n -+=22n =(3)任取1212,,x x R x x ∈<且,则21211121112111()()[()]()()()()()22f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-++-=-+=211()02f x x -+>∴12()()f x f x <∴函数()f x 是R 上的单调增函数. 10.9.(1)解: ∵对任意x R ∈,有()f x >0, ∴令0,2x y ==得,2(0)[(0)](0)1f f f =⇒=(2)任取任取1212,,x x R x x ∈<且,则令112211,33x p x p ==,故12p p < ∵函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1()13f >∴1212121111()()()()[()][()]3333p p f x f x f p f p f f -=-=-0>∴12()()f x f x >∴函数()f x 是R 上的单调减函数. (3) 由（1）（2）知，()(0)1f b f >=，∴()1f b >∵[][]()()(),()()a cb b ac f a f b f b f c b f b b b ⎛⎫=∙==∙= ⎪⎝⎭∴[][]()()()()a c bbf a f c f b f b +=+>，而2a c b +>==∴2()f b >=∴()()2()f a f c f b +>11. (1)证明:令0,1m n ==,则(01)(0)(1)f f f +=∙∵当0x >时,0()1f x <<,故(1)0f >,∴(0)1f =,∵当0x >时,0()1f x <<∴当0x <时,0x ->,则(0)1()()()()1()()f f x x f x f x f x f x f x -+=-∙⇒==>-- (2)证明: 任取1212,,x x R x x ∈<且,则2121112111()()[()]()()()()f x f x f x x x f x f x x f x f x -=-+-=-∙-211[()1]()f x x f x =--∵210x x ->,∴0<210()1f x x <-<,故21()1f x x --<0,又∵1()0,f x >∴211[()1]()0f x x f x -->,故12()()f x f x >∴函数()f x 是R 上的单调减函数. (3) ∵{}{}2222(,)()()(1)(,)()(1)A x y f x f y f x y f x y f =∙>⇒+>由（2）知，()f x 是R 上的减函数，∴221x y +< ∵B={(,)(2)1,x y f ax y a R -+=∈}=(){},20,x y ax y a R -+=∈又∵A B = ∅，∴方程组22120x y ax y ⎧+<⎨-+=⎩无解，即直线22201ax y x y -+=+<与单位圆的内部无公共点1≥⇒23a ≤⇒-a ≤≤a 的取值范围是a ≤≤12. (1)解:∵()f x 为R 上的奇函数, ∴对任意,x R ∈都有()()f x f x -=-,令0,x =则(0)(0)f f -=- ∴(0)f =0(2)证明: ∵()f x 为R 上的奇函数, ∴对任意,x R ∈都有()()f x f x -=-,∵()f x 的图象关于直线1x =对称, ∴对任意,x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-,∴ 用1x +代x 得,(2)[1(1)]()()f x f x f x f x +=-+=-=-∴[2(2)](2)[()]()f x f x f x f x ++=-+=--=,即(4)()f x f x +=∴()f x 是周期函数,4是其周期. (3)当[)1,3x ∈-时，(11)()2(13)x x f x x x -≤≤⎧=⎨-+<<⎩当4141k x k -≤≤+时，()4f x x k =-，k Z ∈ 当4143k x k +<<+时，()24f x x k =-+-，k Z ∈ ∴4(4141)(),24(4143)x k k x k f x z R x k k x k --≤≤+⎧=∈⎨-+-+<<+⎩图象如下：yx13. (1)证明：令1x y ==，则(11)(1)(1)f f f ⨯=+，故(1)0f = （2）∵(2)1f =，令2x y ==，则(22)(2)(2)2f f f⨯=+=， ∴(4)2f =()(3)2f x f x +-≥⇒22[(3)](4)(3)(4)3414f x x f f x x f x x x -≥⇒-≥⇒-≤⇒-≤≤∴()(3)2f x f x +-≥成立的x 的取值范围是13x -≤≤。