抽象函数经典综合题33例（含详细解答）抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。

抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。

本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答）1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴)(1)(x f x f =- /由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0)(1)(>-=x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0(3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴1)()()()()(121212>-=-⋅=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数（4）f(x)·f(2x-x 2)=f[x+(2x-x 2)]=f(-x 2+3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增∴由f(3x-x 2)>f(0)得：3x-x 2>0 ∴ 0<x<3 2.已知函数()f x ,()g x 在R上有定义，对任意的,x y R ∈有()()()()()f x y f x g y g x f y -=- 且(1)0f ≠.（1）求证：()f x 为奇函数（2）若(1)(2)f f =， 求(1)(1)g g +-的值解（1）对x R ∈，令x=u-v 则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)- g(u)f(v)]=-f(x) （2）f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0∴g(-1)+g(1)=13.已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y f x f y x f +=+且当x ＞0，.2)1(.0)(-=<f x f 又(1)判断)(x f 的奇偶性；(2)求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值； 《(3)解关于x 的不等式.4)()(2)(2+<-ax f x f ax f解（1）取,0==y x 则0)0()0(2)00(=∴=+f f f取)()()(,x f x f x x f x y -+=--=则)()(x f x f -=-∴对任意R x ∈恒成立 ∴)(x f 为奇函数. （2）任取2121),(,x x x x <+∞-∞∈且， 则012>-x x0)()()(1212<-=-+∴x x f x f x f),()(12x f x f --<∴ 又)(x f 为奇函数 )()(21x f x f >∴ ∴)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数. ∴对任意]3,3[-∈x ，恒有)3()(-≤f x f*而632)1(3)1()2()12()3(-=⨯-==+=+=f f f f f6)3()3(=-=-∴f f ∴)(x f 在[－3，3]上的最大值为6（3）∵)(x f 为奇函数，∴整理原式得 )2()()2()(2-+<-+f ax f x f ax f进一步可得)2()2(2-<-ax f x ax f而)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数，222->-∴ax x ax.0)1)(2(>--∴x ax∴当0=a 时，)1,(-∞∈x当2=a 时，}1|{R x x x x ∈≠∈且当0<a 时，}12|{<<∈x ax x当20<<a 时, }12|{<>∈x ax x x 或.当a>2时，}12|{><∈x ax x x 或4.已知f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)＝－1，且满足x ，y ∈(－1，1)有f (x )＋f (y )＝f (xyy x ++1) ⑴证明：f (x )在(－1，1)上为奇函数； ⑵对数列x 1＝21，x n ＋1＝212nn x x +，求f (x n ); ⑶求证252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n(Ⅰ)证明：令x ＝y ＝0，∴2f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0 ∴f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (－x )＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数%(Ⅱ)解：f (x 1)＝f (21)＝－1，f (x n ＋1)＝f (212nn x x +)＝f (n n n n x x x x ⋅++1)＝f (x n )＋f (x n )＝2f (x n )∴)()(1n n x f x f +＝2即{f (x n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列∴f (x n )＝－2n －1 (Ⅲ)解：)2121211()(1)(1)(11221-++++=+++n nx f x f x f 2212)212(21121111->+-=--=---=--n n n而2212)212(252-<+--=++-=++-n n n n ∴252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n5.已知函数N x f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；…（1）试证明：)(x f 为N 上的单调增函数；（2）n N ∀∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；（3）若(0)1f =，对任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f ，证明：∑=<-ni if 141)13(12. 证明：（1）由①知，对任意*,,a b a b ∈<N ，都有0))()()((>--b f a f b a ，由于0<-b a ，从而)()(b f a f <，所以函数)(x f 为*N 上的单调增函数. （2）由（1）可知n N ∀∈都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)≥f(n)+1 ∴f(n+1)-f(n)1≥, ∴f(n)-f(n-1)1≥••• ∴ f(2)-f(1)1≥∴f(1)-f(0)1≥由此可得f(n)-f(0)≥n ∴f(n)≥n+1命题得证（3）（3）由任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f :得()1f m = 由f(0)=1得m=0则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+121)311(21311)311(31313131)13(121<-=--=+•••++=-∑=nn n ni i f6.已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； (2)(1)3f =(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-. (I)求(0)f 的值； (II)求()f x 的最大值； (III)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*12(3),n n S a n N =--∈.#求证：123112332()()()()2n n f a f a f a f a n -⨯++++≤+-.解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥max ()(1)3f x f ∴==(III)*12(3)()n n S a n N =--∈1112(3)(2)n n S a n --∴=--≥1111133(2),10n n n n a a n a a --∴=≥=≠∴= 111112113333333()()()()()23()4n n n n n n nn f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 111143333()()n n f f -∴≤+，即11433())(n n f a f a +≤+。

|22112211414414444112133333333333()()()()2n n n n n n n f a f a f a f a ------∴≤+≤++≤≤+++++=+ 故113()2n n f a -≤+1213131()1()()()2n nf a f a f a n --∴+++≤+即原式成立。

7. 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数．(1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；(2)判断函数()21xg x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明；(3) 若函数()f x 为理想函数，假定∃[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证00()f x x =．解：（1）取021==x x 可得0)0()0()0()0(≤⇒+≥f f f f ．又由条件①0)0(≥f ，故0)0(=f ．（2）显然12)(-=xx g 在[0，1]满足条件①0)(≥x g ；-也满足条件②1)1(=g ．（若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则)]12()12[(12)]()([)(21212121-+---=+-++x x x x x g x g x x g 0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x ，即满足条件③，故)(x g 理想函数．（3）由条件③知，任给m 、∈n [0，1]，当n m <时，由n m <知∈-m n [0，1]，)()()()()(m f m f m n f m m n f n f ≥+-≥+-=∴若)(00x f x <，则000)]([)(x x f f x f =≤，前后矛盾； 若)(00x f x >，则000)]([)(x x f f x f =≥，前后矛盾． 故)(00x f x =8.#9.已知定义在R 上的单调函数()f x ,存在实数0x ,使得对于任意实数12,x x ,总有0102012()()()()f x x x x f x f x f x +=++恒成立。