图4.14 三棱锥体表面上点的投影
第二章、 平面与立体相交
平面截切立体
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基本立体被平面 截切后，表面产生的 交线称为截交线。截 切立体的平面称为截 平面，截交线围成的 图形称为截断面。绘 制被截立体的投影时 必须将截交线的投影 正确绘出。
截交线的性质
(1) 截交线一般是由直线、曲线或直线和曲 线所围成的封闭的平面图形。
A
S C
B
• • 2.2.2 棱椎体的投影 • 见三维立体 三棱锥 • 投影中的点线面的含义
A
• 各面的可见性
S
C B
2.2.2.2 棱锥表面上的点
s
s
S
k n
k
(n)
A
C
a b c a(c) b
a
c
s
B
kn
b
在棱锥表面上取点：平面上取点法
2.2.2.2 棱锥体表面上的点和直线
• 三棱锥体表面上点的投影如图4.14所示。
3.相贯线的主要性质
共有性
相贯线是两立体表面的共有线
分界性
相贯线是两立体表面的分界线
封闭性 相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况 下成为平面曲线或直线 其作图实质是找出相贯的两立 体表面的 若干共有点的投影
4.相贯线产生形式
相贯线有三种产生形式： (1) 外表面相贯 (2) 内表面与外表面相贯 (3) 两内表面相贯
前棱
四边形的公共边都互
线
相平行，由这些平面 所围成的基本体称为
图4.3 三棱柱
棱柱。
第二章 平面立体
• 2.2.1.1 棱柱体的投影 • 见三维立体 三棱柱 • 投影中的点线面的含义 • 各面的可见性
第二章 平面立体
• 2.2.1.1 棱柱体的投影 • 见三维立体 四棱柱 • 投影中的点线面的含义 • 各面的可见性
曲面立体
表面由平面与曲面围成，或全部由
曲面围成的立体称为曲面立体。
常见曲面是回转面，它是由一直线 或曲线以一定直线为轴线回转形成。由
回转曲面组成的立体，称回转体，如圆
柱体、圆锥体、球体等。
英国馆 世界气象馆
以色列馆 澳门馆
马德里馆 西班牙馆
西班牙馆 丹麦馆 荷兰馆
新加坡馆 澳大利卢亚丹森馆麦堡馆馆
圆锥的形成
1. 圆锥体的投影
2. 圆锥体表面上的点
辅助素线法
已知圆锥表面上点K的 正面投影k’，求作其 水平投影k和侧面投影 k”。
辅助纬圆法
已知圆锥表面上点K的 正面投影k’，求作其 水平投影k和侧面投影 k”。
（三）圆球体
球面是由母线圆（或半圆）绕其直径 旋转而成。
圆球体的 形成动画
1. 圆球体的投影
截交线是截平面和回转体表面的共有线， 截交线上的点也是二者的共有点。
当截交线为非圆曲线时，一般先求出能确 定截交线形状和范围的特殊点，再求出若干中 间点，最后将这些点连成光滑曲线，并判别可 见性。
1. 平面与圆柱体相交
截平面的 位置
截交线 形状
与轴线平行
平行于轴线的 直线
与轴线垂直 圆
与轴线倾斜 椭圆
• 三棱柱体表面上直线的投影如图4.13所示。
图4.13 三棱柱体表面上直线的投影
• 2.2.1.2 平面立体上的取点和线
a(b)
a(b)
判断点和直线的可见性 直线的一个端点的投影为不可见，则直线投影不可见
2.2.2 棱锥体
•
棱锥的底面为多边形； 各侧面均为三角形且 具有公共的顶点，即 为棱锥的锥顶。
置、截交线的形状和投影特性； 3.画出每个基本立体的截交线，并注意
相邻部分的连接点。
【例3-11】求作同轴回转体截交线的水平投影。
分析： 该同轴回转体由三部分叠加而成，从左至右依次是：圆
锥、小圆柱、大圆柱。同轴回转体被两个平面截切：水平面P 和正垂面Q。水平面P与三个组成部分均相交，截交线分别是： 双曲线、直线（矩形）和直线（矩形）。正垂面Q只与大圆柱 相交，截交线是部分椭圆。
日本馆 加拿大馆
3. 曲面立体的形成
第二节 曲面立体的投影及其 表面求点的投影
1. 圆柱的投影 圆柱表面点的投影 2. 圆锥的投影 圆锥表面点的投影 3. 球体的投影 球体表面点的投影
一、常见回转体的投影及其表面求点
（一）圆柱体
圆柱体是由顶 面、底面和圆柱面所 组成。圆柱面是由一 条直母线绕与它平行 的轴线回转而成。圆 柱面上任意一条平行 于轴线的直线，称为 圆柱面的素线。
一、概述
1.两立体相交的形式：
两平面立体相交 平面立体与曲面立体相交 两曲面立体相交
2.相贯线
1)两立体相交称为相贯，其表面的交线称
为相贯线。 2)两回转体相贯，其相贯线的形状取决
于两回转体各自的形状、大小和相 对位置。一般情况下，相贯线是封闭的
空间曲线；在特殊情况下，可能不封闭， 也可能是平面曲线或直线。
虽然产生相贯线的形式不同， 但产生的相贯线是一样的。
两外表面相交
外表面与内表面相交
观看动画
两内表面相交
5.求相贯线的步骤
1.分析：相交两立体的类型、空间位置、相互位置，相贯 线的哪些投影待求，求共有点的方法； 2.先求出能确定相贯线形状和范围的特殊点，如极限位置 点（即最高、最低、最左、最右、最前、最后点），轮廓 线上的点（即可见性的分界点）等; 3.再求出若干中间点；最后将这些点连成光滑曲线; 4.并判别可见性，光滑连线，并补齐投影图。
(2) 截交线是截平面和立体表面的共有线， 其上的点都是截平面与立体表面的共有点， 即：这些点既在截平面上，又在立体表面 上。
(3) 截交线的形状取决于被截立体的形状和 截平面与立体的相对位置。
平面与平面立体相交的截交线
平面与平面立体相交所得的截交线 是由直线组成的平面多边形，多边形的 边是截平面与平面立体表面的交线，多 边形的顶点是截平面与平面立体棱线的 交点。因此，求平面立体的截交线可归 结为求截平面与立体表面的交线或求截 平面与立体上棱线的交点。
• 任务驱动： • 1、了解曲线、曲面、曲面立体的形成 • 2、掌握曲面立体上的点、线的投影和识读 • 3、掌握并能绘制被切割的曲面立体的投影。 • 4、结合实际，将知识加以运用能寻找到实
践中的相关工程
二、平面与曲面立体相交
截交线通常是一条封闭的平面曲线，也
可能是由直线组成的平面多边形或直线和曲线 组成的平面图形。
上海世博建筑场馆YD
【例3-10】求作带切口槽半球的水平和侧面投影。
分析：水平面截切圆球，截交线 在水平投影上为部分圆弧，在侧 面投影上积聚为直线；两个侧平 面截切圆球，截交线在侧面投影 上为部分圆弧，在水平投影上积 聚为直线。
动画.avi
4.平面与同轴回转体相交
作图步骤：
1.分析该立体由哪些基本立体组成； 2.分析截平面与每个基本立体的相对位
3. 曲面立体的形成： 回转曲面立体
圆的投影 1。圆面是投影面的平行面： 2. 圆面是投影面的垂直面 3. 圆面是投影面的倾斜面
平行—反应实形，圆
垂直—积聚的线，线长=直径
倾斜—椭圆。长轴：圆面内的平行线直径
短轴：垂直圆内平行线的最大斜度线
1.曲线
柱状屋面
柱状面是由一直母线沿两曲导线移动，同时又平行于一导平面形成的曲面见图344a，该柱状面是直母线AD沿着两曲导线ABC和DEF移动且平行于导平面而形成 的。
作图步骤： (1)作出立体截切前的水平投影； (2)作水平面P与圆锥的截交线：最左点E，连接点A、B，一般点C、D，连 线； (3)作水平面P与两个圆柱的截交线； (4)作正垂面Q与圆柱的截交线：连接点F、G，最右点H，一般点I、J，连 线。
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第三节 两回转体相交
一、概述 二、表面取点法 三、辅助平面法 四、相贯线的特殊情况
最高点 最低点 2 求一般点
3 连线
3. 平面与圆球相交
截交线总是圆，其投影可能是圆、椭 圆和直线。
【例3-9】如下页图所示，求正垂面P与圆球的
截交线。
空间及投影分析：由于截平面P为正垂面，故 截交线正面投影积聚在截平面的正面投影p′
上，而水平投影为椭圆。
动画.avi
原题图
解题图
作图结果
圆球与正垂面相交的截交线
立 体 图
动画
投 影 图
动画
动画 椭圆.
【例3-6】如下图所示，已知圆柱体被正垂面P截切后 的正面和水平投影，求作侧面投影。
原题图
立体图
3’(
4
1’(
’
2
)
d”
’
)
4
a ’ 3” ’ c”
1 b” ’
’
3
• 思考：
• 1.如上题的正垂面切割方式，在W面投影 是否都得到扁椭圆
• 2.如果正垂面以45°方式切割，得到什么 样的投影
北京奥运场馆
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1. 圆柱体的投影
轴线垂直于投影面的投影特征： 圆柱面在某一投影面上有积聚性。
曲面体表面上的点和直线
• 曲面体表面上的点和平面体表面上的点 相似。为了作图方便，在求曲面体表面 上的点时，可把点分为两类：
– 特殊位置的点，如圆柱、圆锥的最前、最后、 最左、最右、底边，球体上平行于三个投影 面的最大圆周上等位置上的点，这样的点可 直接利用线上点的方法求得。