拉格朗日函数为
根据哈密顿原理，
整理后，
又，
代入前式中，得到
在瞬时t0，t1，有r== 0，于是上式中的后四项为零，由于t0，t1是任意的，所以被积函数应为零，且和是彼此独立的，于是我们得到
哈密顿原理可用来推导各种形式的弹性结构（杆及杆系、板、壳）的运动微分方程及求动力响应的近似解。
例5-6试建立二端固定而绷紧的均质弦的微幅振动动力学方程。
(1)
固定时间t，式(1)表示以a为变量（0al）的曲线参数方程，如图18-5中的曲线c，根据不可伸长的约束条件，得到
由此推出
(1)
用 分别表示横向位移及其对a和对t的偏导数，并且限于讨论偏离铅垂位置的微振动。若将横向运动量 看作一阶小量，则由公式(1)看出， 是二阶小量，在略去四阶小量 后，式(1)简化为
(2)
系统动能精确到二阶小量为
(3)
式中，是悬链线密度。若以O为零势能位置重力势能为
(4)
式中，xC是链子的质心坐标；xN是集中质量的坐标。根据质心公式，有
而
若以悬链静平衡为零势能状态，则系统的重力势能为
(5)
令
其中，是集中质量与链的质量比，则系统的拉格朗日函数由式(3)和(5)得
哈密顿作用量为
(6)
t
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
0.00
0.29313
0.56900
0.81038
1.00
0.00
0.29401
0.56975
0.81006
1.00
0.00
-0.299
-0.132
+0.0395
0.00
习
5-1如题5-1图所示，半径为r的均质圆球自半径为R的固定球顶端无初速、无滑动地滚下，试求动球的正则方程及球心下降的加速度。
（常量）(5-11)
对于定常系统，这意味着机械能守恒；对于非定常系统，则意味着广义能量守恒。
例5-1试写出图5-1中球面摆的正则方程及其首次积分。已知球面摆摆长为l，摆锤质量为m。
解：取图5-1所示的角、为广义坐标，A为重力势能的零位置，则系统的拉格朗日函数为
广义动量分别为
解得
按定义式(5-5)，系统的哈密顿函数为
5.1.1
对于主动力均有势的k个自由度的完整约束系统，其拉格朗日方程为
(5-1)
引入广义动量
(5-2)
代入式(5-1)，有
(5-3)
设拉格朗日函数L满足条件
于是，可由式(5-2)反解出
(5-4)
式(5-3)和式(5-4)就把方程(5-1)由k个二阶微分方程化为2k个一阶微分方程，其中方程组(5-4)并非正则形式。引入哈密顿函数
第二项对x积分
代回原式有
由于u任意取值，有
上式是所寻求的弦的微振动微分方程。
例2-5已知单自由度谐振子的拉格朗日函数为
求满足以下端点条件
的近似解。
解：以此为我们所熟悉而简单的谐振子问题为例，回避运动微分方程的建立，应用哈密顿原理直接求得系统运动的数值解，即变分问题的直接解法中的里兹法。
构造一个函数x(t)作为系统运动的近似解：
应用哈密顿原理可以建立动力系统的运动微分方程；也可直接求解动力学问题。
例5-2试用哈密顿原理推导拉格朗日方程。
解：考虑一个所受主动力均有势的完整系统，设其有k个自由度，广义坐标为q1，…，qk，拉格朗日函数为 ，由哈密顿原理
得
又因 （始末位置相同），故上式中 ，于是，有
由于完整系统各 的独立性和任意性，故
例5-5质量为m、半径为r的粗糙圆柱体在一空心圆柱体内的表面上作纯滚动。这空心圆柱体的质量为M；半径为R，可绕中心水平轴O转动。两圆柱体均系均质。试用哈密顿原理写出系统的运动微分方程。
解：系统有两个自由度。取空心圆柱体的转角和两柱心连线的转角为广义坐标。设小圆柱体的角速度为。系统的动能为
系统的势能为
弦的动能为
就弹性弦来讲，势能为内力的功；dx段的弧长dl为
伸长量dl－dx为
由于伸长量较小，展开根式并略去高阶微量，
得到
题给出弦是绷紧的，振动为微幅，则张力变化极小，可视张力F为常量，这样，dx段的功为
弦的势能为
于是得到哈密顿作用量S
对于正路，哈密顿作用量S的变分为零，即S= 0，则
首先作第一项对t的积分，利用分部积分公式
解：这是一个无限多自由度系统。将哈密顿原理应用于这个连续体系统，主要的是写出此连续体的动能和势能，建立哈密顿作用量后求其极值即可得到系统的动力学方程。设弦长为l，张力为F，单位长度的质量为。弦在振动时有二个方向的位移，这里只考虑横向位移，略去纵向位移。
对于任一瞬时，分析弦的dx段，其质量为dm=dx，横向位移u是x和t的函数u=u(x，t)，速度为 ，动能为
5.1
哈密顿正则方程是分析力学中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是2n个一阶常微分方程组。我们知道，对于一个质点系统，在建立拉格朗日方程后，重要的问题是研究这个微分方程组的积分，但是求解往往是很困难的。哈密顿正则方程的重要性在于它将n个二阶微分方程变换为2n个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了有利条件。若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用，则哈密顿正则方程对分析力学中的积分理论起着基础的和推动的作用。哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性研究中，并不需要求解微分方程组，而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方法求解。
第5章哈密顿原理
如前所述，力学的变分原理的实质是：将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判别准则以区分真实运动和可能的运动。哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间的位形轨迹加以比较，而哈密顿作用量S是对不同的位形轨线取不同值的泛函，从而得到对真实运动来讲，哈密顿作用量的变分等于零。
将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系，开拓了应用前景；由动力学普遍方程对时间积分，导出一个重要的力学变分原理——哈密顿原理，提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则；对于有限过程，提供了一种动力学问题的直接近似解法。
a为待定常数。函数x(t)满足端点条件x(0)=0，x(1)=1。将近似解x(t)代入哈密顿函数中，为此作导数， ，有
由此哈密顿作用量S的变分为
于是
由哈密顿原理，S=0，因此有
于是得到近似解为
我们知道，单自由度谐振子问题的精确解为
近似解与精确解有较好的接近度，将t在0≤t≤1之间取值就可以得到这个结论。下面给出近似解与精确解的比较数据及误差：
哈密顿原理只涉及到系统的两个动力学函数，即动能和势能。对于这两个表达系统状态的整体性函数，没有规定必须用多少坐标（有限个参数或无限个参数）来表达。因此，哈密顿原理不但适用于有限多自由度系统，也适用于连续系统。哈密顿原理比拉格朗日方程更有普遍意义的原因就在于此。将哈密顿原理应用到连续体时，只要写出连续体的动能和势能就可以求解。
边界条件是
由哈密顿原理，并经分部积分运算，得到
(7)
由式(7)得悬链的运动微分方程
和在末端的边界条件（自然条件）
哈密顿原理只涉及到系统的状态函数，如系统的总动能和总势能，不涉及用多少个广义坐标来表达，因此，哈密顿原理不仅能用于离散系统（有限自由度系统），而且能用于连续系统（无限自由度系统），这是哈密顿原理的优点之一。哈密顿原理作为一个变分原理，能用变分学的方法提供动力学问题的直接近似解法，如里兹法、伽辽金法等。
这就是势力场中第二类拉格朗日方程。
例5-3试用哈密顿原理建立图5-2所示末端有集中质量的悬链振动微分方程。
解：设悬挂点O不动，而链的末端N附有质量m。坐标x＝a处的M点在运动中达到M点，假设悬链是匀质不可伸长和柔软的，M点的位移记作 ，而集中质量的位移记作 ，这里l是链子的长度，设M点的笛卡尔坐标为（x、y），则有
为了方便，将真实运动在位形空间中的轨线称为正路，对约束允许的可能发生的运动在位形空间的轨线称为旁路。作以下规定：在瞬时t0，正路与旁路都通过A点，在瞬时t1又都通过B点。现在由动力学普遍方程推导哈密顿原理。
对于质点系（n个质点）的真实运动，满足动力学普遍方程
将上式沿着位形空间中的正路自t0至t1对时间t积分：
哈密顿原理比拉格朗日方程更具有概括性，只有一个泛函极值就可表示完整保守系统的运动规律；
例5-4试应用哈密顿原理求解悬挂在弹簧上的单摆的运动微分方程。
解：系统的拉格朗日函数为
式中的r0为弹簧的初始长度。哈密顿作用量S为
根据哈密顿原理，有S= 0
由于
代入前式中，得到
在瞬时t0，t1，有r== 0，于是上式中第二个积分等于零，由于r和是彼此独立的，则有弹簧单摆的运动微分方程：
5-2如题5-2图所示，光滑细直杆绕铅直轴以匀角速度转动，其与铅直轴的夹角＝常量，试用正则方程求套在杆上的小环M相对于杆的运动微分方程。
5-3如题5-3图所示，弹簧摆由刚度系数为k、自然长度为r0的弹簧及质量在m的小球构成。试用哈密顿原理建立小球的运动微分方程。弹簧的质量不计。
5-4如题5-4图(a)与(b)所示，已知A为匀质圆盘，质量为mA，小车B质量为mB，弹簧刚度系数为k，圆盘在车上只能作纯滚动，而轨道摩擦力可以不计。
(5-15)
于是式（5-14）可以表达为
S= 0(5-16)
这就是势力场完整系统的哈密顿原理：对于完整系统，若主动力有势，在相同的时间、相同的起迄位置的条件下，在所有为约束允许的可能运动中，真实运动使哈密顿作用量具有极值，或者说，正路与旁路相比，沿正路的哈密顿作用量的变分为零。
5.3
哈密顿原理可以表述为：沿着正路的哈密顿作用量与沿着旁路的哈密顿作用量相比较，前者具有极值，如式（5-14）所表达。应该注意的是式（5-14）只是在完整系统且主动力有势的条件下成立。对于在任意力作用下的完整系统，哈密顿原理有式（5-13）的形式，但不具有极值条件。