牛顿质点动力学1 牛顿第二定律 dtd p f 从三个方面来应用：全局性研究：对称性、守恒律、稳定性；局部研究：平均值、动量定理、动能定理；瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性；2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题；3 从动力学观点上升到能量的观点。

哈密顿原理、保守力及其势4 五大类典型模型概括：一个原理：哈密顿原理（稳定性与对称性原理）； 哈密顿原理的文字表述如下：二种建模方法：动力学方法、能量法；三类研究方法：对称性方法（全局）、平均值方法（局部） 求极限、求导、突变及奇异性研究方法（瞬时）；四大重点问题：矢量性（矢量空间法）、连续性（微元动力学法）、相对性（相对速度公式法）、非惯性（等效性法）； 五项典型模型：准粒子模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。

（科学计算技术与研究式的学习模式）哈密顿原理、对称性和稳定性1.拉格朗日函数和哈密顿量拉格朗日函数L对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量),,(t q q L i i &来描述，其中i q 是广义坐标，=i q &dt dq i /是广义速度；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R 的球面上运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但广义坐标只有φθ,两个，其中ϕθcos sin R x =，θϕθcos ,sin sin R z b R y ==；一般由于运动受到约束，坐标与广义坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐标一样广义坐标的选取也不是唯一的。

在保守力作用下，系统的拉格朗日量L 定义为动能与势能之差；U T L -=哈密顿量H物理系统还可以用一个称之为哈密顿量的函数描述，在保守力作用下，哈密顿量定义为系统的动能与势能之和),,(t p q H i i =U T +（i=1，2…s ）其中)(/i i q L p &∂∂=是广义动量，哈密顿量是广义坐标和广义动量的函数，在直角坐标下对于质点运动的广义动量可写成v p m =。

作用量I 定义为⎰=21t t Ldt I 其中，积分上下限是质点初末态I q 、F q 对应的时间。

2.哈密顿原理及轨道稳定性哈密顿原理指出：当系统由I q 演化到F q ，其真实的轨道总是满足作用量I 取极值的条件。

具体来讲，当给予广义坐标和速度一个无穷小扰动i q δ、)/(dt dq i δ，而作用量十分稳定，不受扰动，即δI =0。

因此哈密顿原理的实质就是轨道的稳定性原理，质点从I q 运动到F q 总是选择一条最稳定的轨道。

其次，I 在扰动下是不变量，所以哈密顿原理也是一个对称性原理；总之哈密顿原理是物理学的最高原理。

考察空间平移的对称性，设一个系统由两个粒子组成，它们只限于在具有空间平移对称性的x 轴上运动，设两粒子坐标为x1和x2，系统的势能),(21x x E E P P =，当体系发生一平移x ∆时，两粒子坐标变为：x x x x x x ∆+='∆+='2211,，但两粒子的相对距离未变，即x x x x x x =-='-'='1212，空间平移对称性意味着势能与x ∆无关。

此外，两粒子在相互作用势能下，所受的力xE x x x E x E f P P P ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂=111 xE x x x E x E f P P P ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂-=222 所以021=+f f ，即作用力等于反作用力的牛顿第三定律成立，故有动量守恒。

一般可以表述为：系统的哈密顿量在空间坐标平移下保持不变，称系统具有空间平移对称性，它对应着动量守恒律。

3.哈密顿正则方程当以变数),(i i p q 为参数时，由哈密顿原理可以得到一组哈密顿正则方程：i i q H dt dp ∂-∂=// i i p H dt dq ∂∂=// 例如一个一维弹簧振子的哈密顿量2/2/22kx m p H +=正则方程为:kx x H dt dp -=∂-∂=// m p p H dt dx ///=∂∂= 其中m p dt dx //=即动量的定义，而kx dt dp -=/是一维简谐振子的牛顿方程；一般情况下，哈密顿正则方程组的第一个方程是牛顿方程，第二个方程是动量的定义。

例1、弹簧连接体：如右图所示，用轻弹簧联接的两个质量同为m 的滑块放置在光滑的水平桌面上，试用能量法建立动力学方程。

解：系统的动能 m P m P T 2/2/2221+=11x m P &=、22x m P &=分别为两滑块的动量 系统的弹性势能 212)(21l x x k U --= ，其中k 是弹簧的劲度系数，l 是弹簧的原长；哈密顿量 正则方程引力势模型质量为m 的粒子在中心引力势r B /-作用下如何运动，其中GMm B =，G 是万有引力常数，M 为中心天体的质量。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=---=∂∂-==∂∂=--=∂∂-=m P P H dt dx l x x k x H dt dP m P P H dt dx l x x k x H dt dP 22212221111211),(,)(2122221)(2122l x x k m P m P H --++=图2-3-10Java 学件弹簧连接体 图2-3-11Java 学件行星运动在平面极坐标下粒子的哈密顿量rB m p mr L r B m H r -+=-=2222222p 径向动能2222)(21)(212θωd dr m dt dr m m p r ==242)(21θd dr r m L = 其中4242222mr L r m I m m ==ωω； 2221mr L 是横向动能，2222222221/2121mr L r I I m mr ==ωω。

由总能量守恒和角动量守恒22222r L r mB mE p r -+= 22222rm L mr B m E dt dr -+= 又 dtd θmr L 2= 即 L d mr dt /2θ= 于是22222)/(2122rL r B E m L r LBmr mEr r d dr -+=-+=θ 22)/(2L r B E mr r Ldr d -+=θφθ++-=22222arcsinmEL m B r L Bmr)sin(211)/(222φθ-+-=mB EL Bm L r 取2/πφ=, θφθcos )sin(-=-则 θεθcos 1cos 211)/(222+=++=p m B EL Bm L r讨论：1）0,0>>εE双曲线轨道； 2）1,0==εE 抛物线轨道；3）1,0<<εE 椭圆轨道，其中，)2/(22L m B E ->；4）)2/(22L m B E -=，0=ε 圆轨道；开普勒定律参考源程序static Point3f p0,p,p1,p2[3200],p3,S[2],m_path[50]; Orient direct = {0.0f, 90};static Color4f color = {1.0f, 1.0f, 1.0f,1.0f},color1 = {0.0f, 0.0f, 1.0f, 0.9f};static float a,b,c,T,s,e,r0,ll;static float m_sita,t,dt,st,sita,dsita;void demoApp::RenderScene(int sceneIndex){int i,j;a=P_radius; b=P_omega; T=V;title.Show(30.0f, 0.0f, 60.0f);title1.Show(55.0f, 0.0f, 45.0f);c=2*3.14*a*b/T; //单位时间扫过面积e=pow((1-b*b/a/a),0.5); //偏心率r0=pow(b,2)/a;s=pow(a*a-b*b,0.5);ll=c/500.0; //角动量守恒量p0.x=0; p0.y=0; p0.z=-30;p.x=0; p.y=-s/2; p.z=-30; //太阳在焦点p3.x=0; p3.y=-s/2; p3.z=ll;S[0].x=p.x; S[0].y=p.y; S[0].z=p.z;glt::EnableLight();draw::Arrow3D(p, p3, 0.0, 0.5, 10, 2, color, color, false,0,0,0);tex.EnableTexture(); //贴图glt::BeginTransform();glt::ZTransform(S[0], direct, step); // 中心center，轴向direct，旋进角0draw::Sphere(8, color, 32, 31); // 太阳球体，半径r，经线分段数32，纬线分段数31glt::EndTransform();t=0;sita=0;for(i=0;i<step+1;i++){dt=0.01;dsita=c/pow(r0/(1-0.5*e*cos(sita)),2)*dt;sita=sita+dsita; // dsita/dt=c/mr2t=t+dt;p2[i].x=p0.x+b*cos(1.57+sita);//初始出发点p2[i].y=p0.y+a*sin(1.57+sita);p2[i].z=-30;S[1].x=p2[i].x; S[1].y=p2[i].y; S[1].z=p2[i].z; glt::SetLineWidth(3);if(i>0)draw::Line(p2[i-1],p2[i],cRED);glt::SetLineWidth(6);if((i>step-30)&&(step>30))draw::Line(p,p2[i],color1);}tex.DisableTexture();glt::BeginTransform();glt::ZTransform(S[1], direct, 0); // 中心center，轴向direct，旋进角0draw::Sphere(4, color1, 11, 11); // 球体，半径r，经线分段数32，纬线分段数31glt::EndTransform();}。