年级 高一学科数学内容标题 集合有关概念和集合间的基本关系 编稿老师丁学锋一、学习目标：1. 了解集合的含义及元素与集合的“属于”关系；2. 能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；3. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；4. 在具体情境中，了解全集与空集的含义；5. 理解两个集合中的交集的含义，会求两个简单集合的交集.二、重点、难点：1. 重点：集合的表示方法，元素和集合的关系，集合与集合之间的关系2. 难点：有关⊆∈,的理解和应用三、考点分析：本讲的内容是中学数学最基本的内容之一，基础问题往往体现集合的概念、运算及简单的运用，经常作为工具广泛地运用于函数、方程、不等式、三角函数及区间、轨迹等知识中，在高考中占有重要地位.1. 集合（1）集合的分类⎩⎨⎧----含有无限个元素的集合无限集含有有限个元素的集合有限集（2）集合的元素特性：确定性、互异性、无序性 （3）集合的表示方法：①列举法—把集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法； ②描述法—把集合中元素的公共属性描述出来，写在花括号内表示集合的方法. （4）常见集合的符号表示:数集 自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N*NZ Q R文字语言 符号语言属于∈不属于∉2. 集合间的基本关系：表示关系文字语言符号语言相等集合A等于集合B BA=子集集合A是集合B的子集BA⊆真子集集合A是集合B的真子集BA≠⊂空集空集φ一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集.知识点一：集合的基本概念例1. 在以下六种写法中，错误写法的个数是（）{}{}{}{}{}{}{}{}06)5(,0)4(,1,0,11,1,0)3(,0)2(,1,0)1(==∈-⊆-⊂∈≠）（），（全体整数,0ZφφA. 3B. 4C. 5D. 6思路分析：题意分析：本题主要考查集合中的有关基本概念及集合中的两个符号⊆∈和的区别.对写法（1）、（2）、（3）、（5）、（6）考查集合与集合间符号的运用，对写法（4）考查元素与集合之间符号的运用.解题思路：对写法（1）是要理解集合的大小，写法（2）是表示空集与任意集合的关系，写法（3）表示集合相等的概念，写法（4）是表示实数0与空集的关系，写法（5）是集合的表示，写法（6）是对集合中元素的认识.解答过程：（1）是两个集合的关系，不能用“∈”；（2）空集是任何非空集合的真子集，故写法正确；（3）集合中的元素具有无序性，只要集合中的所有元素相同，两个集合就相等；（4）φ表示空集，空集中无任何元素，所以应是φ∉0，故写法不正确；（5）集合符号“{}”本身就表示全体元素之意，故此“全体”两字不应写；（6）等式左边集合的元素是平面上的原点，而右边集合的元素是数零，故不相等.故本题选B题后思考：本题考查集合的有关基本概念，尤其要注意区别⊆∈和两个符号的不同含义.例2. 已知{}33,)1(,222++++=aaaaA，若A∈1，求实数a的值.思路分析：题意分析：本题主要考查元素与集合之间的关系，集合中元素的有关性质.解题思路：解答过程：{}1,0,1A,1a12a=-==+时，当不符合集合性质，舍去；{}{}.0a.(2a1a,02a3a13a3a,0,1,1A2a2)2,1,3Aa)1,2aa1)1a(222=-=-==++=++=-===-===+所以，综上所述：舍去）或时，当舍去；时，当时，当或时，当题后思考：本题主要考查元素在集合中的性质，要学会用分类的思想考虑问题，并且要通过集合中元素的唯一性验证集合.例3. 已知集合{}{}012,082222=-++==--=aaxxxBxxxA，当AB⊆时，求实数a的取值范围.思路分析：题意分析：本题考查了子集的有关概念和应用，对于集合{}4,2-=A中含有确定的两个元素－2，4，如果集合B是集合A的子集，则集合B中的元素应是集合A中的元素，另外还考查了分类的思想.解题思路：本题应从如何使方程01222=-++aaxx的解集成为集合A的子集入手，寻求集合B可能的情况，但无论如何不能使集合B中含有集合A以外的元素，尤其不能忘记集合B可能是空集.解答过程：由已知得{}4,2-=A，B是关于x的方程01222=-++aaxx的解集，因为AB⊆，所以{}{}{}φ,4,2,4,,2--=B（1）若{},2-=B则012)2(2(22=-+-+-aa），解得24-==aa或，当04=∆=时，恰有a；（2）若{},4=B则0124422=-++aa，解得舍去，此时02>∆-=a；（3）若{},4,2-=B则由（1）（2）知02>∆-=，此时a符合题意；（4）若φ=B时，由0<∆解得44-<>aa或.综上所述，所求实数a的取值范围是424≥-=-<aaa或或.题后思考：①在本题的讨论中，当{}4B=时的真正含义是：集合B中的一元二次方程有两个相等的实根4xx21==；②当B为单元素集时，也可利用韦达定理求出a的值；③在考虑子集的过程中容易遗漏空集的情况，事实上，我们应首先考虑空集.知识点二：集合的运算（交集）例4. 若{}{}==--===B A ,032,122I 则x x x B x x A （ ）A. {}3B. {}1 C. φ D. {}1-思路分析：题意分析：本题考查交集的定义和一元二次方程的解.解题思路：先解方程12=x 得出集合A 的元素用列举法表示出来，解0322=--x x ，用列举法把集合B 中的元素表示出来，再求B A I .解答过程：由12=x 得{},11A 1-=∴±=，x ， 由0322=--x x 得{}1,3-B 31=∴-=，或x {}1-B A =∴I ，故选D.题后思考：本题主要考查交集的定义，因此，只要对定义的内容清楚应不难写出答案.例5. 设集合{}{}=<<-=<+=B A .23,312x A I 则x x B x （ ）A. {}13<<-x xB. {}21<<x xC. {}3->x xD. {}1<x x思路分析：题意分析：本题考查集合A 和B 的交集，A 和B 两个集合都是与不等式有关的，则求集合A 和B 的交集时，我们需要借助于数轴，用数形结合的方法来解题更形象.解题思路：先解出A 中元素应满足的范围，再在数轴上表示出A 中元素满足的范围，然后在数轴上表示出B 中元素所满足的范围，由数轴得出最终的结果. 解答过程：由{}1,1312<=∴<<+x x A x x 解得.又由{}23<<-=x x B ，{}1x 3x B A <<-=∴I ，故选A. 题后思考：本题是简单的求关于不等式的两个集合的交集的问题.一般步骤是：①先把每个集合中满足不等式的解集解出来； ②用数轴表示出来；③根据数轴的图像得出最终的答案.尤其要注意的是有没有“等号”，在数轴上表示为实心点或空心点，以及能否取到该值.例6. 已知{}{}，若或φ=>-<=+≤≤=B A .51,32x A I x x x B a x a 求a 的取值范围. 思路分析：题意分析：本题考查A 和B 的交集为空集，B 为已知的集合，A 集合中包含的元素随着a 的变化而变化，需要合理的讨论.解题思路：先在数轴上得出B 集合，再由φ=B A I ，确定出A 集合的位置，再解关于A 集合的不等式.但不要忘了φ=A 这个特殊情况，在解题过程中很有可能会遗漏. 解答过程：（1）若φ=A ，由φ=B A I 知，此时3,32>∴+>a a a ；（2）若得如图：由,BA,φφ=≠IA⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤≤≤-≤+-≥∴32.221,5312aaaaa解得综上所述，a的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤≤-3221aaa或.题后思考：①出现交集为空集的情况，首先要考虑集合中有没有空集，即分类讨论；②与不等式有关的集合运算中，用数轴分析法直观清晰，应重点考虑；③对两个集合交集的端点值能否取到的问题也应仔细分析.①关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化简到最简形式，再进行运算；②出现交集为空集的情况，首先考虑集合中有没有空集；③与不等式有关的集合运算中，多注意用数轴法表示；④对于含参数的集合问题，在根据集合的互异性进行处理时，有时需要用到分类讨论、数形结合的思想.（答题时间：45分钟）一、选择题1. 集合{}5Nx<∈x的另一种表示方法是（）A. {}4,3,2,1,0B. {}4,3,2,1C. {}5,4,3,2,1,0D. {}5,4,3,2,12. 已知集合{}{}1,21x<<=<<-=xxBxA，则（）A. BA> B. BA⊂ C. AB⊂ D. BA⊆3. 下列五个关系式：①{}00⊂；②{}00∈；③{}φ=0；④{}0∈φ；⑤{}0⊂φ其中正确的有（）A. ①③B. ①⑤C. ②④D. ②⑤4. 设集合{}{}=≤≤-∈=<<-∈=NM.31,23ZmM I则nZnNm（）A. {}1,0B. {}1,01，- C. {}2,1,0 D. {}2,1,01，-5. 已知{}{}=-==-==NM,1,1M22I那么xyyNxyx（）A. φB. MC. ND. R*6. 设R b a ∈,，集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a ,,0,,1，则=-a b （ ） A. 1B. －1C. 2D. －27. 集合{}的范围是则实数且a R x a x x x M,,02M 2⊂∈=-+=φ（ ） A. 1-≤a B. 1≤a C. 1-≥aD. 1≥a二、填空题8. 已知集合{}{}，且B A ,a x x B ,R x ,2x x A ⊆≤=∈≤=则实数a 的取值范围是____.9.已知{}{}=∈+-==∈+==N M ,,1,,12M 22I 那么R x x y y N R x x y y ______.10. 若{}{}1,x B ,x ,3,1A 2==且}x ,3,1{B A =Y ，则这样的x 的不同值有________个.11. 已知集合{}{}=⊆=-=m A B B m A 则实数若集合,.4,3,,3,1________.三、解答题*12. 设{}{}，若B B A ,01)1(2,04x 222==-+++==+=I a x a x x B x x A 求a 的值.一、选择题1. A 解析：由5<x 且是自然数，得x 为0，1，2，3，42. C 解析：BA X-1213. D 解析：①{}00⊂应是{}00∈；所以②正确；③{}φ=0，空集不含任何元素，所以{}φ≠0；④{}0∈φ集合与集合之间不能用“∈”，所以⑤{}0⊂φ正确.4. B 解析：{}{}{}{}{}1,0,1N M .3,2,1,0,131,1,0,1,223Z m M -=-=≤≤-∈=--=<<-∈=I 则n Z n N m5. C 解析：{}{}{},11,1M 22-≥=-===-==y y x y y N R x y x则{}N y y N M =-≥=1I6. C 解析：Θ{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a ,,0,,1，∴.1,,0,0-=-=∴=+≠a b b a b a a2a b ,1b ,1a =-=-=∴故7. C 解析：由M,⊂φ所以必有根，0a x 2x 2=-+1a 0a 440-≥⇒≥+⇒≥∆∴.二、填空题8. 2≥a .解析：如图：9. {}1解析：{}{},1,12M 2≥=∈+==y y R x x y y {}{},1,12≤=∈+-==y y R x x y y N 所以，{}1N M =I . 10. 3 11. 4三、解答题12. 解析：{}{}，0,404x 2-==+=x x A A B B B A ⊆∴=,I Θ①{}0B 1A B 1,1,01B 02=-===±==-∈时，，当时，当，则若a a a a②,17,078B 42或，则若==+-∈-a a a {}A B 4-12-B 7⊄==，，时，当a③1,0)1(4)14(B 22-<<--+=∆=a a a ，则若φ 由①②③得11-≤=a a 或.。