Bi y2
Bi 根有无穷多个，是 Bi 的函数。无论 、n 都是正 Bi取任何值，1、2、 的递增数列， 的解是一个快速收 敛的无穷级数。
y1 cot

1

2
2
3
3

由解的函数形式可以看出， 确实是 Fo 、 Bi 、 X 三 个无量纲特征数的函数 第三章 非稳态导热 23

a Biv Fov 2 (V A)
12
第三章 非稳态导热
Biv
h(V A)

a Fov (V A) 2
Fov 是傅立叶数
e 0
hA Vc
e
Biv Fov
物体中的温度 呈指数分布
方程中指数的量纲：
W 2 m 2 hA w 1 m K Vc J s kg Jkg 3 3 K [m ] m
的准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一 般用符号 l 表示。 对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义， 以及定义式中各个参数的意义。
第三章 非稳态导热 9
§3-2 集总参数法
1 定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的
分析方法。此时，Bi 0 ，温度分布只与时间有
零维问题。 关，即 t f ( ) ，与空间位置无关，因此，也称为
2 1
x f Bi , 可见，当Fo 0.2，非稳态导热进入正规状况阶段以后， 虽然与m都随时间变化，但它们的比值与时间无关， 只取决于毕渥数Bi与几何位置x/ 。 认识正规状况阶段的温度变化规律具有重要的实 际意义，因为工程技术中的非稳态导热过程绝大部分 时间都处于正规状况阶段 。 26 第三章 非稳态导热


m的物理意义是过余温度对时间 的相对变化率，单位是 1/s ，称 为冷却率（或加热率）。 上式说明，当Fo 0.2，进入正规状况阶段后，所 有各点的冷却率都相同，且不随时间变化，其大小取 决于物体的物性、几何形状与尺寸及表面传热系数。 25 第三章 非稳态导热
x, 2sin 1 x Fo cos 1 e 0 1 sin 1 cos 1 对于平壁中心，X x 0, m 2 m 2sin 1 1 e Fo f Bi , Fo 0 1 sin 1 cos 1
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t f ( x , y , z , ) ;
Φ f( )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
(3) 求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法
分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法： 集总参数法、积分法 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟
第三章 非稳态导热 5
7 毕渥数
本章以第三类边界条件为重点。 (1) 问题的分析 如图所示，存在两个换热环节： a 流体与物体表面的对流换热环节 rh 1 h b 物体内部的导热 (2) 毕渥数的定义：
毕渥数的物理意义： Bi为物体内部的导热热阻与边 h Bi 界处的对流换热热阻之比。 1 h
由无量纲数学模型可知， 是 Fo 、 Bi 、 X 三个无量 纲参数的函数 f ( Fo, Bi, X ) 确定此函数关系是求解该问题的主要任务。 2) 求解结果
？
？
第三章 非稳态导热
7
Bi 准则对温度分布的影响
0
t t0 0
3
2
1
t t0 0
1 0
t t0
1 0
2 1 2 1
2
t


Bi




Bi 0
0 Bi
Bi 准则对无限大平壁温度分布的影响
第三章 非稳态导热
t tf
20
2 令 t t a 2 x 过余温度 0, 0 t0 t 0, t t0 t x 0, 0 x 0, 0（对称性） x x t x , h x , h t t x x 引进无量纲过余温度 0、 无量纲坐标 X x ， 2 a 2 a 2 Fo 2 2 2 X a X
13
第三章 非稳态导热
Vc 1 即与 的量纲相同，当 时，则 hA
hA 1 Vc
此时，
e 1 36.8% 0
Vc
时，物体的过
上式表明：当传热时间等于
hA 余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。 Vc 称 为时间常数，用 c 表示。 hA
第三章 非稳态导热
M 1 1 M 2 1 M 3
第三章 非稳态导热
3－3 一维非稳态导热的分析解
第三类边界条件下大平壁、长圆柱及球体的加热 或冷却是工程上常见的一维非稳态导热问题。 1. 无限大平壁对称冷却或加热问题的分析解

假设：厚度为2，、a为常数， 无内热源，初始温度与两侧流体 相同，为 t0 。两侧流体温度突然 降低为 t ，并保持不变，平壁表 面与流体间对流换热表面传热系 数h为常数。 tf t 考虑温度场的对称性，选取 坐标系如图。 这是一维非稳态导热问题。
§3-1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义 . 2 非稳态导热的分类
t f (r , )
周期性非稳态导热 (定义及特点) 瞬态非稳态导热 (定义及特点)
第三章 非稳态导热
1
着重讨论瞬态非稳态导热
3 温度分布：

t
1
4 3
2
1
t
0
0
第三章 非稳态导热
2
4 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段)
流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的
（微细热电偶、薄膜热电阻）
Vc 当 4 时， 1.83% hA 0
工程上认为=4 Vc / hA时 导热体已达到热平衡状态
第三章 非稳态导热
16
3 瞬态热流量：
Φ ( ) hA(t ( ) t ) hA hA 0 e
3) 分析解的讨论 (1) 傅里叶数 Fo 对温度分布的影响 分析解的计算结果表明，当Fo 0.2时，可近似取级 数的第一项，对工程计算已足够精确，即 x, 2sin 1 x 12 Fo cos 1 e 0 1 sin 1 cos 1 a 因为 Fo 2 ，所以将上式左、右两边取对数，可得 2sin 1 x ln m ln 0 cos 1 1 sin 1 cos 1 2 a 式中 m 1 2 m 为一与时间、地点无关的常数，只 取决于第三类边界条件、平壁的物性 与几何尺寸。 式右边的第二项只与Bi第三章 、x/非稳态导热 有关，与时间 无关。 24
2 温度分布
如图所示，任意形状的物体， 参数均为已知。
0时， t t 0
将其突然置于温度恒为 t 的流 体中。
第三章 非稳态导热 10
当物体被冷却时（t>t）,由能量守恒可知
dt hA(t t ) - Vc d 令： t t — 过余温度，则有
控制方程 hA - Vc d d ( 0) t t 初始条件 0 0
第三章 非稳态导热 8
(4) 无量纲数的简要介绍 基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参 数很多，为了减少问题所涉及的参数，于是人们将 这样一些参数组合起来，使之能表征一类物理现象， 或物理过程的主要特征，并且没有量纲。
因此，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则数，
比如，毕渥数又称毕渥准则。以后会陆续遇到许多类似

换热时间 Fo 2 l a 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内 部，因而，物体各点的温度就越接近周围介 质的温度。
第三章 非稳态导热
无量纲 时间
18
5 集总参数法的应用条件 采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%
Biv h( V A )
14
c
1 e 36.8% 0
0
Biv Fov
应用集总参数法时，物体过余温度的变化曲线
第三章 非稳态导热 15
如果导热体的热容量（Vc）小、换热条件好（h大），
那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时
间常数(Vc/hA)小。 对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对
hA Vc
W
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
Q 0 Φ ( )d Vc 0 (1 e


hA Vc
) J
当物体被加热时(t<t)，计算式相同（为什么？）
第三章 非稳态导热
17
4
Biv Fov 物理意义
l 物体内部导热热阻 Bi ＝ 1 h 物体表面对流换热热阻 hl
方程式改写为：
d
hA d Vc
11
第三章 非稳态导热
d
hA d Vc
积分
hA 0 0 d Vc

d

hA ln 0 Vc

t t e 0 t0 t

hA Vc
过余温度比
hA hV A2 其中的指数： 2 cV A V c h(V A)
第三章 非稳态导热 22
x, 2sin n x Fo cos n e 0 n 1 n sin n cos n 、n是下面超 解的函数形式为无穷级数，式中1、2、 y 越方程的根 y1 y2