第三章 非稳态导热
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正常情况阶段的温度分布特点： * 0.2 2 a
ln
12
a 2
ln[0
2sin 1 sin cos
cos(
x )]
ln m K(Bi, x )
1
m
12
a
2
①该式说明当Fo＞0.2时，物体
在给定的边界条件下，物体中
任何给定地点过余温度的对数
值将随时间按线性规律变化。
a 2
x 2
0
0
x
0 x , 0 0
x0
h x
x
第三章 非稳态导热
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用分离变量法并整理得到
ctg( ) h
h 为毕渥准则数，用符号 Bi 表示，并令
ctg( )
Bi
第三章 非稳态导热
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用分离变量法可得其分析解为：
e (x, )
2
s in( n
第三章 非稳态导热
3-1 非稳态导热的基本概念 3-2 无限大平壁的瞬态导热 3-3 无限大物体的瞬态导热 3-4 其他形状物体的瞬态导热 3-5 周期性非稳态导热
第三章 非稳态导热
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§3-1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义 : t f (x, y, z, )
2 非稳态导热的分类 : 周期性非稳态导热和瞬态非稳态导热 本课程重点讨论瞬态非稳态导热
Vc
0
d
ln hA
t t
hA
e Vc
Vc 0
0 t0 t
其中的指数：
过余温度比
hA
cV
hV
A
A2 V 2c
h(V
A) a
(V A)2
Bi
Fo
第三章 非稳态导热
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Bi h(V A)
Fo a
(V A)2
hA
e Vc
eBi Fo
物体中的温度 呈指数分布
0
方程中指数的量纲：
第三章 非稳态导热
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5 集总参数法的简化分析
(1) 定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的
分析方法。此时， Bi 0 ，温度分布只与时间有
关，即 t f (，) 与空间位置无关，因此，也称为
零维问题。
(2)温度分布
如图所示，任意形状的物体， 参数均为已知。
0时，t t0
将其突然置于温度恒为 t的流
)
c
os(
n
x
)
0
n1 n sin(n ) cos(n )
2 n
a 2
傅立叶准则：
a
F0 2
因此 ( x, ) 是以平板厚度一半为特征尺度的Fo, Bi
0
和x 函数，即
(x, ) f (Fo, Bi, x )
0
第三章 非稳态导热
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考察热量的传递
0 2c (t0 tf )
0 --非稳态导热所能传递的最大热量
第三章 非稳态导热
3
4 学习非稳态导热的目的：
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t f (x, y, z, ) ; Φ f( )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
c t ( t ) ( t ) ( t ) qv x x y y z z
(3) 求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法
②如图所示，图中
范围
即为瞬态非稳态温度变化的正常
情况阶段，其特征是各时刻lnθ—τ斜率相等。
第三章 非稳态导热
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3 Bi数对温度分布的影响
Bi r h rh 1 h
无量纲数
当 Bi 时， r rh ，因此，可以忽略对流换热热阻 当 Bi 0 时， r rh ，因此，可以忽略导热热阻
hA
W m2K
m2
w1
Vc
kg m3
Jkg K
[
m3
]
J
s
即与 1 的量纲相同，当 Vc 时，则
hA
hA 1 此时， Vc
e1 36.8%
体中。
第三章 非稳态导热
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当物体被冷却时（t>t）,由能量守恒可知
h
A(t
t
)
-
Vc
dt
d
令： t t — 过余温度，则有
hA
-Vc
d d
( 0) t0 t 0
控制方程 初始条件
方程式改写为：
d hA d Vc
第三章 非稳态导热
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d hA d Vc
积分
0
d
hA
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2. 正常情况阶段-F0对温度分布的影响
F0 a 2
对无限大平板 当
误差小于1%
F0 0.2
取级数的首项，板中心温度
e (x, )
0
1
2 sin 1 sin 1 cos 1
cos(1
x)
12 F0
e (0, ) m ( )
2 sin 1
12 F0
0
0
1 sin 1 cos 1
热流规律
无论对哪一类非稳态导热过程，由于在热量传递的路径中，物体各 处本身温度的变化要积聚或消耗热量，所以即使对穿过平壁的导 热来说，非稳态导热过程中在与热流方向相垂直的不同截面上热 流量也是处处不等的，这是非稳态导热区别于稳态导热的一个特 点。
三个阶段的特征：不规则情况阶段中q1急剧减小，q2保持不变； 正常情况阶段中q1逐渐减小，q2逐渐增大；建立新的稳态阶段后 q1与q2保持不变并相等。
3 温度分布的特点： 4 热流量分布特点：
第三章 非稳态导热
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温度场的特征
依据温度变化的特点，可将加热或冷却过程分为三个阶段： ⑴不规则情况阶段：温度变化从边界面逐渐地深入到物体内，温度 分布受初始温度分布的影响很大。 ⑵正常情况阶段：初始温度分布影响消失，物体内各处温度随时间 的变化率具有一定的规律。 ⑶建立新的稳态阶段：温度分布不再随时间变化。
h=const
5
此半块平板的数学描写（一维瞬态导热问题）：
导热微分方程
t a 2 t (0 x , 0)
x2
初始条件 边界条件
t t0 0
t 0 x 0 x
t x
h(tຫໍສະໝຸດ ttf)(对称性)
x
第三章 非稳态导热
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引入变量－－过余温度
令
(x, ) t(x, ) t f
上式化为：
若令 为 [ 0, ]内所传递热量
c [0 (x, )]dx
e
2 c 0 [1
n1
n2
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2 sin 2 (n ) n sin(n ) cos(n )
]
2 n
F
0
e
0 [1
n1
n2
12
2 sin 2 (n ) n sin(n ) cos(n )
]
2 n
F
0
第三章 非稳态导热
分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：集总参数法、积分法 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、
分子动力学模拟
第三章 非稳态导热
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§3-2 无限大平壁的瞬态导热
1.加热或冷却过程的分析解法
tf
tf
λ=const
a=const
因两边对称，只研究半块平壁
第三章 非稳态导热