5
2
1
例 1： (x2 a) 2 dx.
2
解：Matlab 命令为：syms x a↙ f=sqrt(x^2+a);↙ int(f,x,-2,2);↙ pretty(int(f,x,-2,2))↙
1/2
1/2
1/2
2 (4 + a) + 1/2 a log(2 + (4 + a) ) - 1/2 a log(-2 + (4 + a) )
例 1：计算
1 sin 2xcos2 xdx
解:Matlab 命令：syms x↙
y=1/(sin(x)^2*cos(x)^2); ↙
int(y)；↙
pretty(int(y)) ↙
1
cos(x)
------------- - 2 ------
sin(x) cos(x) sin(x)
例 2：计算
功能:计算 lim f x ，其中 f 是符号函数。 x a
命令形式 5: Limit(f,x,a,’left’)
功能:计算 lim f x ，其中 f 是符号函数。 xa-
注意:在左右极限不相等或左右极限有一个不存在时，Matlab： 求极限 lim(1
1
4x) x
例 3:变上限函数 f (x) 1 t 2 dt 求导 0
解：Matlab 命令为: syms x t↙
a=x^2;f=sqrt(1-t^2);↙
gg=int(f,t,0,a)↙
gg =
1/2*x^2*(1-x^4)^(1/2)+1/2*asin(x^2)
diff(gg);↙
pretty(diff(gg))↙
ans =
0.8333
5 练习
1
1) 求 f (x) (ax tg3x) 2 sin x cos(bx) 的二阶导数。
tg(ax2 )
2) lim(
)
x0 x 2 (sin x)3
3)
y (x 1)3 x 1 , 求y (x 4)2 e x
4) 求解微分方程 y ' x sin x cos y
例 5: 求 u aebx yz2 对 z 的偏导数.
解:Matlab 命令:syms x y a↙ syms a b x y z↙ u=a*exp(b*x+y+z^2);↙ diff(u,z);↙ pretty(diff(u,z))↙
2 2 a z exp(b x + y + z )
例 6: 对函数 z x 3 y2 sin(xy) , 求 3z x 3
3
2.2 多元函数求导 对多元函数求导 格式：diff(f ,x,n),表示对变量 x 求 n 阶导数,其中 f 是符号函数,。
例 4： y a sin(becx x a ) cos(cx) ,求 y '
解:Matlab 命令:syms a b c x↙ y=a*sin(b*exp(c*x)+x^a)*cos(c*x);↙ diff(y,x)↙ ans = a*cos(b*exp(c*x)+x^a)*(b*c*exp(c*x)+x^a*a/x)*cos(c*x)-a*sin(b*exp(c*x)+x^a)*sin(c*x)*c
解:Matlab 命令: syms x y↙ z=x^3*y^2+sin(x*y);↙ diff(z,x,3)↙ ans = 6*y^2-cos(x*y)*y^3
例 7: 对函数 z x 3 y2 sin(xy) ,求 2z xy
解:Matlab 命令 syms x y↙ z=x^3*y^2+sin(x*y);↙ dzx=diff(z,x);↙ dzxy=diff(dzx,y)↙ dzxy = 6*x^2*y-sin(x*y)*x*y+cos(x*y) pretty(diff(dzx,y))↙
功能:计算 lim f x , 其中 f 是符号函数。 x0
命令形式 2: Limit(f,x,a)
功能:计算 lim f x ，其中 f 是符号函数。 xa
命令形式 3: Limit(f,x,inf)
功能:计算 lim f x ，其中 f 是符号函数。 x
命令形式 4: Limit(f,x,a,’right’)
2 a + 3 + 3 tan(3 x) 1/2 ------------------- + cos(x) cos(b x) - sin(x) sin(b x) b
1/2 (a x + tan(3 x)) disp('二阶导数为:'),y2↙ 二阶导数为: y2 = 1/4/(a*x+tan(3*x))^(3/2)*(a+3+3*tan(3*x)^2)^2+3/(a*x+tan(3*x))^(1/2)*tan(3*x)*(3+3*tan(3*x )^2)-sin(x)*cos(b*x)-2*cos(x)*sin(b*x)*b-sin(x)*cos(b*x)*b^2
5
4 1/2
x
x (1 - x )
- -----------
+
4 1/2
ezplot(gg)↙
(1 - x )
x -----------
4 1/2 (1 - x )
6
x2
图 6.6 函数 f (x) 1 t 2 dt 的图像 0
例
4.计算定积分
2
(1
x
1
)e
x
1 x
dx
1
x
2
解：Matlab 命令为: syms x↙ t=1+x-1/x;y=exp(x+1/x);↙ f=t*y;↙ int(f,x,1/2,2)↙
x
e
t
2
dx
2
例 2:求 lim 0
x0
x
t et2
2
dx
0
解：Matlab 命令为:syms t x↙ y1=exp(t^2);y2=t*y1^2;↙ r1=int(y1,t,0,x);r2=int(y2,t,0,x);↙ f=r1^2/r2;↙ limit(f,x,0)↙
ans =
2
x2
， lim
ex
1 。
x0
x x 0
解：Matlab 命令为：syms x↙ y1=(1+4*x)^(1/x);↙ y2=(exp(x)-1)/x;↙ limit(y1)↙ ans =
exp(4) limit(y2)↙ ans =
1
例
2：
lim(
x0
x
2
tg
(ax 2 (sin
) x)
3
)
1
解：Matlab 命令为：syms a x↙ y=tan(a*x^2)/(x^2+(sin(x))^3);↙ limit(y)↙ ans = a
(a 2
1
x2)
dx,
(ax ax 2
b) bx
c
dx
解:Matlab 命令 syms a b x↙
y1=1/(a^2-x^2); ↙
y2=(a*x+b)/(a*x^2+b*x+c); ↙ int(y1,x); ↙ pretty(int(y1)) ↙
log(a - x)
log(a + x)
- 1/2 ---------- + 1/2 ----------
解：Matlab 命令为: syms n↙ y=(1+1/n)^n;↙ limit(y,n,inf)↙ ans = exp(1)
例
6：求极限
lim(1
tan
x
)
1 x3
x0 1 sin x
解：Matlab 命令为: syms x↙ y=(1+tan(x))/(1+sin(x))^(1/x^3);↙ limit(y)↙ ans =
ans =
3/2*exp(5/2) ezplot(f)↙
图 6.7
被积函数 (1 x
1
)e
x
1 x
的图像
x
7
4.2 计算二重积分 指令：dblquad('fun',inmin, inmax, outmin, outmax) 其中：
例 5.计算 xydxdy ,D 由 y=1,x=4,x=0,y=0 所围
对符号函数求 n 阶导 格式：diff(f ,n),其中 f 是符号函数。
1
例 3：求 f (x) (ax tg3x) 2 sin x cos(bx) 的一阶、二阶导数。
解：Matlab 命令为：syms a b x↙ y=(a*x+tan(3*x))^(1/2)+sin(x)*cos(b*x);↙ y1=diff(y);↙ y2=diff(y,2);↙ disp('一阶导数为:'),pretty(y1)↙ 一阶导数为:
0
2 求导数与微分
2.1 一元函数的导数与微分
导数是函数增量与自变量增量之比的极限，即 f ' (x) lim f (x x) f (x) .在
x0
x
Matlab 中求函数的导数及其他一些类似运算均由 diff 命令来完成.
2
对符号函数求一阶导 diff(f) 格式：diff(f),其中 f 是符号函数。 例 1：求 y=ln(x)的导数。 解：Matlab 命令为：syms x↙ f=log(x);↙ diff(f)↙ ans = 1/x
2 6 x y - sin(x y) x y + cos(x y)