数学 建模
Mathematical Modeling
主讲人：范瑾
Email: jinfan@ Office:信息学院（学院楼2号楼）216
考核方式
•平时成绩——作业，考勤10% •上机实践——实验报告30% • 考试 ——60%
<数学建模与数学实验>（第二版）赵
静 但琦, 高等教育出版社，2003年
4.模型求解。
应当借助 计算机 求出数值 解。
5.模型的分析与检验。
§1.3 数学模型的分类
分类标准
对某个实际问题了解 的深入程度
具体类别
白箱模型、灰箱模型、黑箱模型
模型中变量的特征
建模中所用的数学方 法 研究课题的实际范畴
连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机
型模型等 初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优 化模型等 人口模型、生 态系统模型 、交通 流模型、经 济模型、 基因模型等
x(t ) x0 e
rt
参数估计
根据最小二乘法,x0和r是以下函数的最小值:
E ( x0 , r ) ( x0e xi )
rti i 1
n
2
其中xi是ti时刻美国的人口数。 然后再代回函数计算新的时间t所对应的人口数：
x(t ) x0 e
rt
结果分析
人口将以指数规 律无限增长 1810-1870间的预 测人口数与实际 人口数吻合较好， 但1880年以后的 误差越来越大
• 通过直观观察， 猜测人口随时 间的变化规律 （即某种类型 的函数），再 用函数拟合的 方法确定其中 的未知参数。
指数增长模型
马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数
x(t) ~时刻t的人口
x(t t ) x(t ) rt x(t )
dx rx, x(0) x0 dt
x r x r 1 x m
模型求解
解微分方程得到：
xt
xm xm rt 1 1 x e 0
增长速率曲线
60 50 40 30 20 10
100
200
300
400
500
r=0.5, xm=500百万（50亿） 取xm/2的时候，增长率最大
= /2时， f(/2)=0 , g(/2)>0 (AC和BD互换). 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.


由 f, g的连续性知 h为连续函数 , 据连续函数的基本 巧妙的建模：用一元变量 θ 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
数学建模的基本方法
1、理论分析方法（机理分析法）：应用自然科学中 已经被证明的正确理论、原理和定律，对被研究的有 关因素进行分析、演绎和归纳，从而建立数学模型。 2、模拟方法：对于一些模型，了解了其结构和性质， 但是无法对模型求解或者无法进行定量描述，此时可 以使用模拟的方法（实战中用的最多的模拟方法有图 论模拟、物理模拟和随机模拟的方法），创造出一个 结构和性质完全相同的模型，将新的模型看成是原来 模型的模拟，对后一个模型进行试验。
建模过程示意图
如何学习数学建模
• 数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术
技术大致有章可循 艺术无法归纳成普遍适用的准则 想像力 洞察力 判断力
• 学习、分析、评价、改进别人作过的模型 • 亲自动手，参加课题实践。
需要掌握的数学知识
• 微分方程 • 规划（优化）：静态规划（线性、整数、 非线性），动态规划 • 概率统计（回归）、随机模拟 • 图论（最短路问题，匹配，网络流） • 组合数学 • 层次分析（简单、自学） • 变分法
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置
B´ B
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() B,D 两脚与地面距离之和 ~ g() 椅脚与地面距离为零 •放稳
f()＝ g()＝0
A´
C
C´
O

D´
A
x
四个距离 (四只脚)
正方形 对称性
两个距离
D
正方形ABCD 绕O点旋转
例1 （续）
假设2：地面为连续曲面 假设3：椅子在任意位置 至少三只脚着地
学习数学建模的意义
• 培养学以致用的能力 • 灵活应用知识 • 动手实践 • 利用计算机来学习和应用数学 • 二者的结合是发展趋势 • 越来越多的研究用计算机模拟取代传统的实 验。
数学建模竞赛
• 东华大学生数模竞赛 • 全国大学生数模竞赛 • 美国数学建模竞赛
全国大学生数学建模竞赛
时间：每年9月中下旬。 内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问 题简化而成，没有标准答案。 对象：全国本专科学生，专业不限，分甲乙组 形式：3人一组，三天三夜，自由完成 目的：培养学生独立进行研究的能力，运用数 学和计算机的能力，团结合作精神和进行协调 的组织能力等。
• 设第k次渡河前此岸的商人数为xk, 随从数为yk, k=1, 2,…, xk , yk =0,1,2,3，称二维向量 为状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状态 集合，记为S，则允许状态集合为：
模型建立：
从图中可以发现经过下面 的11步状态变化，可以使 得所有人员安全过河： （3,3）→（3,1）→（3,2） →（3,0）→（3,1）→ （1,1）→（2,2）→（0,2） →（0,3）→（0,1）→ （0,2）→（0,0）。
§1.4 建模实例
•例1 椅子能在不平的地面上放稳吗？
模型假设
1.四条腿一样长，四脚的连线呈正方形；
2.地面高度是连续变化的,地面可视为数学上的连续 曲面.
3.地面是相对平坦的,椅子在任何位置至少有三只脚 B 同时着地. 4.放稳就是椅脚与地面零距离 C A O
x
例1 （续）
模型建立
• 椅子位置
数学建模的基本方法
3、类比分析法：根据两个模型某些属性或者关 系的相似性，去猜想两者的其他属性或者关系 也可能相似的一种方法。 4、数据分析法：对于结构性质不大清楚的模型， 无法从理论分析中得到模型的内在规律，但是 由若干能表征问题规律，描述系统状态的数据 可以利用，这是可通过描述系统功能的数据分 析了解系统的结构模型，在这种情形下，回归 分析法是最有效的工具。
数学建模的一般过程
1、需要解决什么问题
了解实际背景 搜集有关信息 明确建模目的 掌握对象特征 形成一个比较 清晰的‘问题’
针对问题特点和建模目的 2、假设与简化： 作出合理的、简化的假设
在合理与简化之间作出折中
对假设的说明
• 对实际问题建立数学模型时，将涉及众 多的因素，所以需要分清主要因素和次 要因素，恰当地抛弃次要因素，并且将 主要因素用公式、变量、图表的形式描 述出来。 • 同时考虑假设对模型的可解性的影响。 • 模型成败的前提 • 艺术性、技巧性——有规律可循但是有 时需要很高的技巧。
没考虑饱和性
阻滞增长模型（Logistic模型）
随着人口的增加，人口增长率会降低，可假设为人口数 的减函数
r ( x) r sx
xm
人口数量最终会饱和，趋于某一个常数 当
x xm 时，增长率应为0，即 r sxm 0
dx x r 1 x xm dt x 0 x 0
O D D´
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
例1 （续）
连续函数的性质 • h(x)在闭区间[a, b]上连续，且h c [ a, b] (a)h(b)<0，则存在一点 使得h(c)=0。
例1 （续）
A
B
模型求解

O
C

D
x
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 初始 =0时，g(0)=0， f(0) > 0 ，
数学建模的一般过程
3、建立模型： 用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法 4、求解模型：
各种数学方法、软件、计算机技术 能用简单的方法解决的问题就不要用复杂的方法解决
数学建模的一般过程
5、模型的检验与评价：
如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性
数表示椅子四脚与地面的距离.
表示椅子的位置，用 θ的两个函 性质, 必存在0 , 使 h(0)=0, 即f( 0) = g(0) .

请思考一下，四脚呈长方形的情形 ？
例2 商人过河问题 （状态转移）
• 3 名商人各带 1 名随从乘船渡河，一只小 船只能容纳2人，由他们自己划行，随从 们密约，在河的任一岸，一旦随从人数 比商人多，就杀商人。此密约被商人知 道，如何乘船渡河的大权掌握在商人们 手中，商人们怎样安排每次乘船方案， 才能安全渡河呢？
B´ C C´ B
f() , g()是连续函数 对任意, f(), g()至少 一个为0，即 f()*g() =0。
设初始状态 g(0)=0
A´
A
数学问题：
已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ; x 且 g(0)=0， f(0) > 0.
规则型的建模
建模实例-人口增长模型
• 给出美国人口从1790年到1990年间的人口如表1（每10年为一 个间隔），请估计出美国2010年的人口。
年份 人口(106) 年份 人口(106) 年份 人口(106)
1790 3.9 1860 31.4 1930 123.2
1800 5.3 1870 38.6 1940 131.7
数学建模的一般过程
6、模型的改进：
通过评价的结果，进一步改进模型
现实世界 形成问题 简化问题 归结模型