线性代数（经管类）综合试题一（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设D==M≠0，则D1==(B )．A.－2MB.2MC.－6MD.6M2.设 A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出B = C，则A应满足 ( D )．A. A≠ OB. A = OC.|A|= 0D. |A|≠03.设A，B均为n阶方阵，则 ( A )．A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.当AB=O时，有A=O或B=OD.(AB)-1=B-1A-14.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1= ( B )．A. B.C.D.与，则下列说法正确的是( B )．A.若两向量组等价，则s = t .B.若两向量组等价，则r()=r()C.若s = t，则两向量组等价.D.若r()= r()，则两向量组等价.6.向量组线性相关的充分必要条件是 ( C )．A. 中至少有一个零向量B. 中至少有两个向量对应分量成比例C. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示D. 可由线性表示7.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是( C )．A. r与s未必相等B. r + s = mC. r = sD. r + s > m8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( D )．A. Ax = o有解时，Ax = b必有解.B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解.C. Ax = b无解时，Ax = o也无解.D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解.9.设方程组有非零解，则k= ( D )．A. 2B. 3C. -1D. 1阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D )．A. |A|>0B.存在n阶方阵C使A=C T CC.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.四阶行列式D中第3列元素依次为 -1，2，0，1，它们的余子式的值依次为5，3，-7，4，则D= -15 ．12.若方阵A满足A2= A，且A≠E，则|A|= 0 .13.若A为3阶方阵，且，则|2A|= 4 ．14.设矩阵的秩为2，则t = -3 ．15.设向量＝(6，8，0)，=(4，–3，5)，则(,)= 0 ．16.设n元齐次线性方程组Ax= o，r(A)= r < n，则基础解系含有解向量的个数为 n-r 个.17.设＝(1，1，0)，＝(0，1，1)，=(0，0，1)是R3的基，则=(1，2，3)在此基下的坐标为(1,1,2) .18.设A为三阶方阵，其特征值为1，-1，2，则A2的特征值为1,1,4 .19.二次型的矩阵A=220 231 011-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎝⎭20.若矩阵A与B=相似，则A 的特征值为 1,2,3 .三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.求行列式的值.解：1111111111111111xxyy+-+-=111100111100xx xyy y+--+--1100110000110011x xyy +=+00011000000011xxy y ==x 2y 2.22.解矩阵方程：.解：令A =111211111-⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭, B =236⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 因为(AE )=111100111100211010031210111001002101--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1110003311101023611001022⎛⎫- ⎪⎪ ⎪→ ⎪⎪⎪-⎝⎭，所以11103311123611022-⎛⎫-⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭A .由AX=B，得：X=A-1B=11331211133 23662 1122⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭.23.求向量组=( 1, 1, 2, 3 )，=(－1,－1, 1, 1 )，=(1, 3, 3, 5 )，=(4,－2, 5, 6 )的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.解：将已知向量按列构成矩阵，并对其进行行变换： 123411141132()21353156T T T T -⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪⎪⎝⎭αααα1114002603130426-⎛⎫ ⎪-⎪→ ⎪-⎪-⎝⎭11141114002601130113001300260000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1007010000130000⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪-⎪⎝⎭. 所以，1234(,)=3,r ,,αααα极大无关组为123413;73,,.=-αααααα取何值时，方程组有解并求其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换：211111214212142053731741105372a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A若方程组有解，则()()r r =A A ，故a =5. 当a =5时，继续施以初等行变换得：164105553730155500000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，原方程组的同解方程组为： 13434234416555,,337555x x x x x x x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩为自由未知量，令x 3=x 4=0,得原方程组的一个特解：453500⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 与导出组同解的方程组为：134342341655,,3755x x x x x x x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为自由未知量，令34x x ⎛⎫⎪⎝⎭分别取10,01⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到导出组的基础解系：165537,551001⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，方程组的全部解为：12416555337555010001c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭v ，其中，c 1 ，c 2为任意常数.25.已知,求A 的特征值及特征向量，并判断A 能否对角化，若能，求可逆矩阵P ，使P –1AP =Λ（对角形矩阵）．解：矩阵A 的特征多项式为：2200|121(2)(1)101λλλλλλ--=--=----|E A ， 所以，A 的特征值为：1232,1λλλ===.对于122λλ==，求齐次线性方程组(2)-=E A x o 的基础解系，0001012101000101000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭E A ，得基础解系：011,001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而矩阵A 的对应于特征值122λλ==的全部特征向量为：12120110,.01c c c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不全为零对于31λ=，求齐次线性方程组()-=E A x o 的基础解系，100100111011100000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭E A ，得基础解系：011⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，从而矩阵A 的对应于特征值31λ=的全部特征向量为：01(0)1c c ⎛⎫⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭. 因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以， A 相似于对角矩阵，且010200101,020011001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P Λ.26.用配方法将下列二次型化为标准形：解：222123123121323()2444f x ,x ,x x x x x x x x x x =+-+--=22222112323232323[4()4()]4()+24x x x x x x x x x x x x +-+----- =2221232233(22)245x x x x x x x +--+- =222212322333(22)2(2)3x x x x x x x x +---+- =222123233(22)2()3x x x x x x +----.令11232233322y x x x y x x y x ⎧=+-⎪=-⎨⎪=⎩，即112223332x y y x y y x y ⎧=-⎪=+⎨⎪=⎩，得二次型的标准形为：22212323y y y --. 四、证明题（本大题共6分）27.设向量，证明向量组是R 3空间中的一个基.证：因为11011011002020111001-==≠，所以123,,ααα线性无关（方法多样），所以向量组123,,ααα是R 3空间中的一个基.线性代数（经管类）综合试题二（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.若三阶行列式=0, 则k = ( C ).A．1 B．0 C．-1 D．-22.设A、B为n阶方阵,则成立的充要条件是 ( D ).A．A可逆 B．B可逆 C．|A|=|B| D．AB=BA3.设A是n阶可逆矩阵, A*是A的伴随矩阵, 则( A ).A．B．C．D．4.矩阵的秩为2，则λ =(B ).A． 2 B． 1 C．0D．5.设3×4矩阵A的秩r(A)=1，是齐次线性方程组Ax=o的三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为 ( D ).A．B．C．D．6.向量线性相关,则( C ).A．k =-4 B．k = 4 C．k =-3 D．k = 37.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解, 若是其导出组Ax=o的解, 则有( B ).A．c1+c2 =1 B．c1= c2 C．c1+ c2 = 0 D．c1= 2c28.设A为n(n≥2)阶方阵，且A2=E，则必有( B ).A．A的行列式等于1 B．A的秩等于nC．A的逆矩阵等于E D．A的特征值均为19.设三阶矩阵A的特征值为2, 1, 1，则A-1的特征值为( D ).A．1, 2 B．2, 1, 1 C．, 1 D．, 1, 110.二次型是(A ).A．正定的 B．半正定的 C．负定的 D．不定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。