专题11 导数的几何意义
【重难点知识点网络】：
1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A.这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线.
（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向不断接近，当与距离非常小时，观察直线是否稳定在一个位置上.
（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。

例如函数在处
的切线，与曲线有两个公共点.
（3）在定义中，点不断接近包含两个方向，点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点处的切线。

对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。

例如在处，通过观察图像可知，当左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为，而当右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为
，两个不同的方向极限位置不相同，故在处不含切线.
（4）由于点沿函数曲线不断向接近，所以若在处有切线，那么必须在点及其附近有定义（包括左边与右边）
2、函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．
3、从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点：
（1）函数的边界点：此类点左侧（或右侧）的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，也就无从谈起极限位置.故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，则断开处的边界值也不存在导数.
A A A
B 3
y x =()1,1--B A A AB A y x =()0,00x =y x =-0x =y x =y x =()0,0B A ()f x A A
（2）已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数.例如前面例子在处不存在导数.此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只需选点向已知点左右靠近，观察极限位置是否相同即可.
（3）若在已知点处存在切线，但切线垂直轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存在.例如：
在处不可导.
综上所述：（1）-（3）所谈的点均不存在导数，而（1）（2）所谈的点不存在切线，（3）中的点存在切线，但没有导数.由此可见：某点有导数则必有切线，有切线则未必有导数. 【重难点题型突破】：
例1．（2020·河南省实验中学高三二测）已知函数()x
f x ae x b =++，若函数()f x 在(0,(0))f 处的切线
方程为23y x =+，则ab 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】B 【解析】
∵()1x
f x ae '=+，
∴(0)12f a '=+=，解得1,(0)13a f a b b ==+=+=，∴2b =， ∴2ab =.故选：B 。

例2．（2020届四川省成都市高三第二次诊断）曲线3
y x x =-在点()1,0处的切线方程为（ ）
A ．20x y -=
B ．220x y +-=
C ．220x y ++=
D ．220x y --=
【答案】D
y x =()0,0
x y =
()0,0
【解析】由已知，'2
31y x =-，故切线的斜率为12x y ='=，所以切线方程为2(1)y x =-，
即220x y --=，故选D 。

例3．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）已知函数2()ln f x x x =+，则曲线()y f x =在点
(1,(1))f 处的切线方程为___________.
【答案】320x y --=
【解析】因为1
()2f x x x
'
=
+，所以(1)3k f '==， 又(1)1,f =故切线方程为13(1)y x -=-，整理为320x y --=。

例4. 己知曲线上存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零， 则实数的取值范围为 （ ）
A. B. C. D. 【答案】A
【解析】由题意可知，即有两个解，且均大于零。

即，
，解得,选
A.
例5、曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
()32
11332
f x x x ax =
-++a 133,
4⎛⎫
⎪
⎝⎭
133]4（，13]4-∞（，134-∞（，）()2
3f x x x a =-+='12,x x 2
30x x a -+-=()121430{ 30
a x x a ∆=-->=->1334a <<250xy x y -+-=()1,2A 949
6
92113
【解析】由，得， ∴，
∴， ∴曲线在点处的切线方程为． 令，得；令得． ∴切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为．选B ． 例6、（多选题）
已知函数()ln f x x =，若()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，则
（ ）
A
1
2
+= B ．12128x x <
C ．1232x x +<
D ．22
12512x x +>
【答案】AD
【解析】由题意知1
()(0)f x x x
'
=
->，因为()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行， 所以()()12f x f x ''=
1211x x -=-
1
2
=，A 正确； 250xy x y -+-=()5
2
x y f x x +==
+()()
2
3
2f x x -=
'+()113
f '=-
()1,2A ()1
213
y x -=-
-0x =7
3
y =
0y =7x =17497236
S =
⨯⨯=
由基本不等式及12x x ≠
，可得
12=>12256x x >，B
错误；1232x x +>>，C 错误；22
12
122512x x x x +>>，D 正确，故选AD 。

例7、已知抛物线为x 轴负半轴上的动点，MA,MM 为抛物线的切线，A,M 分别为切点，则
的最小值为 （ ）
A. −1
16
B. −18
C. −14
D. −1
2
【答案】A
【解析】设切线MA 的方程为x =MM +m ，代入抛物线方程得，由直线与抛物线相切得螖=
t />2+4m =0，y >0, 时
，根据导数的几何意义可得
则
同理可得
，将点A 的坐标代入x =MM +m ，得
，故，
当
时，
的最小值为−1
16，故选 A.
例8. （湖南省长沙市长郡中学2021届高三期中）设直线1l ，2l 分别是函数()ln f x x =，()1x ≠图象上
点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，PAB △的面积的取
值范围是________. 【答案】()0,1
【解析】由题意可知，()ln ,01
ln ln ,1x x f x x x x -<<⎧==⎨
>⎩
，且明显地，12,P P 分别在分段函数的两段上
设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<<
()1
,011,1x x
f x x x
⎧-<<⎪⎪∴⎨>'=⎪⎪⎩
111l k x ∴=-
，22
1l k x =
121211
1l l k k x x ∴⋅=-⋅=-，即：121=x x 1l ∴方程为：()1111ln y x x x x =-
--；2l 方程为：()222
1
ln y x x x x =-+ ()10,1ln A x ∴-，()20,ln 1B x - ()12121ln ln 12ln 2AB x x x x ∴=---=-=
联立12,l l 可得P 点横坐标为：
121212
22
x x x x x x =++
12121
1
122212PAB S AB x x x x x x ∆∴=
⋅==+++
()10,1x ∈且1
y x x
=+在()0,1上单调递减 111112x x ∴+>+=
01PAB S ∆∴<<，即PAB ∆的面积的取值范围为：()0,1
本题正确结果：()0,1。