FEDCBA27.(本题8分) 锐角为45o 的直角三角形的两直角边长也相等,这样的三角形称为等腰直角三角形.我们常用的三角板中有一块就是这样的三角形,也可称它为等腰直角三角板.把两块全等的等腰直角三角板按如图1放置,其中边BC 、FP 均在直线l 上,边EF 与边AC 重合.(1)将△EFP 沿直线l 向左平移到图2的位置时,EP 交AC 于点Q ,连结AP ,BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;(2)将△EFP 沿直线l 向左平移到图3的位置时,EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ,连结AP ,BQ .你认为(1)中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.29.(本题9分)已知等腰梯形ABCD 中AD ∥BC ,AB=CD ,AE ∥DC 交BC 于E ,G 为AE中点,DG 延长线交BC 于F (1)说明:△AG D ≌△EGF (2)若AD+BF=DC , ①说明:A E ⊥BG ②求∠C 的度数.26.(8分)如图,在四边形ABCD 中,AB=AD,AC 平分BCD ∠,CD AF BC AE ⊥⊥,.图中有无和ABE ∆全等的三角形,请说明理由.22.(本题7分) 如图,在△ABC 中,∠C =90°,AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB 于E ,F 在AC 上,且BD =DF.(1)试说明:CF =EB.(2)若AE=6,CD=4,试求四边形AFDB 的面积。
A (E )BC (F )Pl图1EA QB FC Pl图2E F P AlCBQ图323.已知一个三角形的两边长分别是1cm 和2cm 一个内角为40° (1)请你借助下图画出一个满足题设条件的三角形;(2)你是否还能画出既满足题设条件,又与(1)中所画的三角形不全等的三角形?若能,请你 在下图画这样的三角形;若不能,请说明理由.(3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm 和4cm ,一个内角为40°,”那么 满足这一条件,且彼此不全等的三角形共有___________个.(10分)21.(本题满分10分) 现有两块大小相同....的直角三角板△ABC 、△DEF,∠ACB=∠DFE=90°,∠A=∠D=30°. ①将这两块三角板摆成如图a 的形式,使B 、F 、E 、A 在同一条直线上,点C 在边DF 上,DE 与AC 相交于点G , 试求∠AGD 的度数.②将图a 中的△ABC 固定,把△DEF 绕着点F 逆时针旋转成如图b 的形式,当旋转的角度等于多少度时,DF ∥AC ?并说明理由. 26、(本题满分12分)定义:到凸四边形一组对边距离相等,到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内..点..如图1,PH PJ =,PI PG =,则点P 就是四边形ABCD 的准内点.(1)如图2, AFD ∠与DEC ∠的角平分线FP EP ,相交于点P . 求证:点P 是四边形ABCD 的准内点.(2)分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点.(作图工具不限,不写作法,但要有必要的说明)D AEFBCGEAF B CD图2图4FEDC B A P GHJI 图1 B JI H GDCAP(3)判断下列结论是否正确,正确的打“√”,错的打“×” ①任意凸四边形一定存在准内点.( )②任意凸四边形一定只有一个准内点.( )③若P 是任意凸四边形ABCD 的准内点,则PD PC PB PA +=+或PD PB PC PA +=+.( )27、已知:如图,BD 、CE 都是△ABC 的高,在BD 上截取BF ,使BF =AC ,在CE 的延长线取一点G ,使CG =AB 。
①试探索线段AF 和AG 的关系,并说明理由。
②试探索线段AF 和AG 有何特殊的位置关系,试证明你的结论。
24、(本题10分)如图,已知∠ABC=30°,∠BAD=∠EBC ,AD 交BE 于F.(1)求BFD ∠的度数;(2)若EG ∥AD ,EH ⊥BE ,求∠HEG 的度数.28、(本题8分)已知:如图,AD ∥BC ,AE 平分∠BAD , AE ⊥BE ;说明:AD+BC=AB 。
29、(本题12分)CD 经过BCA ∠顶点C 的一条直线,CA CB =.E F ,分别是直线CD 上两点,且BEC CFA α∠=∠=∠.(1)若直线CD 经过BCA ∠的内部,且E F ,在射线CD 上,请解决下面两个问题: ①如图1,若90BCA ∠=,90α∠=,则BE CF ;EF BE AF -(填“>”,“<”或“=”);②如图2,若0180BCA <∠<,请添加一个关于α∠与BCA ∠关系的条件 ,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.(2)如图3,若直线CD 经过BCA ∠的外部,BCA α∠=∠,请提出EF BE AF ,,三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).A B CDE FG实用文案29、.已知:如图,已知线段AB ,过线段AB 的两个端点作射线AM 、BN ,使得AM //BN ,M AB ∠的平分线AF 交射线BN 于点F ,E 为线段AF 的中点,过点E 作直线CD 与射线AM 、BN 分别相交于点C 、D 。
(1)说明CE ED =;(2)说明点E 到直线AB 、AM 、BN 的垂线段的长度相等。
32.(本题10分)已知∠AOB=900,在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ,将一个三角板的直角顶点与C 重合,它的两条直角边分别与OA 、OB(或它们的反向延长线)相交于点D 、E . 当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时(如图1),易证:CD=CE当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时,在图2、图3这两种情况下,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请写出你的猜想,不需证明.25、已知:如图,AD =AE,∠ADC =∠AEB,BE 与CD 相交于点O 。
(1)在不添加辅助线的情况下,请写出由已知条件可得出的结论。
(例如,可得出△ABE ≌△ACD ,∠DOB =∠EOC , ∠DOE =∠BOC 等)你写出的结论中不得有上述所举之例,只要求写出4个即可。
① ② ③ ④ (2)就你写出的其中一个结论,说明其成立的理由。
9. 如下图,将一张长方形纸片沿对角线AC 折叠后,点D 落在点E 处,与BC 交于点F ,A BC E F DDA BC E F ADF CEB(图1) (图2) (图3)图中全等三角形(包含△ADC )对数有 ( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对10. 如图AD 是△ABC 的中线,∠ADC=45°,把△ADC 沿AD 对折,点C 落在C ′的位置,则BD 与DC ′之间的关系是__________________.25.如图,已知AB ∥CD ,AB=CD ,O 是AC 的中点,过O 作直线分别交AD 、BC 于E 、F ,交AB 、CD 于G 、H 。
(本题10分)①图中有几对全等三角形?把它们一一写出来; ②试说明AD ∥BC ;③OE 与OF 是否相等,请说明理由。
28.用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成四边形ABCD ,把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合,使三角尺的60°角的顶点与点A 重合,两边分别与AB 、AC 重合,将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转。
(1)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 相交于点E 、F 时(如图a ),通过观察或测量BE 、CF 的长度,你能得出什么结论?并说明理由;(2)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 的延长线相交于点E 、F 时(如图b ),你在(1)中得到的结论还成立吗?简要说明理由。
(本题12分)29.(本题满分14分)(1)如图1,图2,图3,在ABC △中,分别以AB AC ,为边,向ABC △外作正三角形,正四边形,正五边形,BE CD ,相交于点O .(说明:每条边都相等,每个角都相等的多边形叫做正多边形)①如图1,求证:ABE ADC △≌△;②探究:如图1,BOC ∠= ;如图2,BOC ∠= ;如图3,BOC ∠= .(2)如图4,已知:AB AD ,是以AB 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边;AC AE ,是以AC 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边.BE CD ,的延长相交于点CAD B C′O .①猜想:如图4,BOC ∠=(用含n 的式子表示); ②根据图4证明你的猜想.22、(本小题满分8分)将一副直角三角尺如图放置,已知AE ∥BC ,求∠AFD 的度数.24、动手操作,探究: 如图(1),△ABC 是一个三角形的纸片,点D 、E 分别是△ABC 边上的两点,研究(1):若沿直线DE 折叠,则∠BDA ′与∠A 的关系是_____ __。
研究(2):若折成图2的形状,猜想∠BDA ′、∠CEA ′和∠A 的关系,并说明理由。
研究(3):若折成图3的形状,猜想∠BDA ′、∠CEA ′和∠A 的关系,并说明理由。
(本小题8分)已知:如图,BD 、CE 都是△ABC 的高.F 是BD 上一点,G 是CE 延长线上一点,∠FAB=∠G .(1)若∠FAD=∠FBC ,试说明AG ∥BC .(2)若BF=AC ,试探索线段AF 和AG 的关系,并说明理由.A GDEFBAFED C24、(本小题5分)如图,在△ABC 中,D 、E 分别是BC 上两点,∠B=∠EAC ,∠ADC=∠DAC . 试说明:AD 平分∠BAE .28、(本小题13分) 操作实验:如图,把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开,发现被折痕分成的两个三角形成轴对称. 所以△ABD ≌△ACD ,所以∠B=∠C .归纳结论:如果一个三角形有两条边相等,那么这两条边所对的角也相等. 根据上述内容,回答下列问题: 思考验证:如图(4),在△ABC 中,AB=AC .试说明∠B=∠C 的理由.探究应用:如图(5),CB ⊥AB ,垂足为A ,DA ⊥AB ,垂足为B .E 为AB 的中点,AB=BC ,CE ⊥BD .(1)BE 与AD 是否相等?为什么?(2)小明认为AC 是线段DE的垂直平分线,你认为对吗?说说你的理由。
(3)∠DBC 与∠DCB 相等吗?试说明理由.23.(本题6分) 如图,四边形ABCD 中,CD ∥AB ,E 是AD 中点,CE 交BA 延长线于点F . (1)试说明:CD =AF ;(2)若BC =BF ,试说明:BE ⊥CF .26.(本题6分) 如图①,直线l 过正方形ABCD 的顶点B ,A 、C 两顶点在直线l 同侧,过点A 、C 分别作AE ⊥直线l 、CF ⊥直线l . (1)试说明:EF =AE +CF ;C 图(1) 图(2) 图(3) ⇒⇒ 图(5) CA B D E C 图(4)图①DA EC B Fl图②ABEF C lD (2)如图②,当A 、C 两顶点在直线l 两侧时,其它条件不变,猜想EF 、AE 、CF 满足什么数量关系(直接写出答案,不必说明理由).28.(本题9分) 如图,△ABC 和△ADC 都是每边长相等的等边三角形,点E 、F 同时分别从点B 、A 出发,各自沿BA 、AD 方向运动到点A 、D 停止,运动的速度相同,连接EC 、FC .(1)在点E 、F 运动过程中∠ECF 的大小是否随之变化?请说明理由;(2)在点E 、F 运动过程中,以点A 、E 、C 、F 为顶点的四边形的面积变化了吗?请说明理由.(3)连接EF ,在图中找出和∠ACE 相等的所有角,并说明理由. (4)若点E 、F 在射线BA 、射线AD 上继续运动下去,(1)小题中的结论还成立吗?(直接写出结论,不必说明理由)29.(本题9分)已知:△ABC 中,AD 、BN 是内角平分线,CE 是外角平分线,G 在AB 上,BN 交CG 于F ,交AD 于M ,交AC 于N ,交CE 于E ,CE=AD ,∠GBF=∠GCB . (1)说明:∠ABC=∠EFC .(2)说明:BD=FC .24.如图,把矩形ABCD 沿对角线BD 对折,使点C 落在点C ′处,试证明AE=C ′E . 225.(6分)已知:如图,△ABC 中,AB=AC ,D 是BC 上一点,点E 、F 分别在AB 、 AC 上,BD=CF ,CD=BE ,G 为EF 的中点.AEBCDFAD BCFE求证:(1)△BD E ≌△CFD ; (2)D G ⊥EF .26.(6分)如图,已知点从M 、N 分别在等边△ABC 的边BC 、CA 上,AM 、BN 交于点Q ,且∠BQM=60°. 求证:BM=CN .16.如图所示,△ABC 中,∠A=90°,BD 是角平分线, DE ⊥BC ,垂足是E ,AC=10cm ,CD=6cm,则DE 的长 为__________________.23.如图,在△ABC 中,E 是AC 的中点,过E 作一条直线交AB 于D ,并在直线DE 上截取线段EF ,使DE=FE ,连接CF ,则AB 与CF 有什么位置关系?并说明理由.27.(1)如图(1),正方形ABCD 中,E 为边CD 上一点,连结AE ,过点A 作AF ⊥AE 交CB 的延长线于F ,猜想AE 与AF 的数量关系,并说明理由;(2)如图(2),在(1)的条件下,连结AC ,过点A 作AM ⊥AC 交CB 的延长线于M , 观察并猜想CE 与MF 的数量关系(不必说明理由); (3)解决问题:①王师傅有一块如图所示的板材余料,其中∠A =∠C =90°,AB=AD .王师傅想切一刀后把它拼成正方形.请你帮王师傅在图(3)中画出剪拼的示意图;②王师傅现有两块同样大小的该余料,能否在每块上各切一刀,然后拼成一个大的正方 形呢?若能,请你画出剪拼的示意图;若不能,简要说明理由.A D A D AD20.如图,方格纸中△ABC 的3个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上,这样的三角形叫格点三角形,图中与△ABC 全等的格点三角形共有__________个(不含△ABC).26.(本小题6分)已知:如图,AD ∥BE ,∠1=∠2.求证:∠A=∠E .29.(本小题7分)如图,已知△ABC 为等边三角形(三条边相等三个角为60°的三角形),点D 、E 分别在BC 、AC 边上,且AE=CD ,AD 与BE 相交于点F(1)求证:△AB E ≌△CAD ; (2)求∠BFD 的度数.25.(本小题5分)如图,已知:AB=AC ,BD=CD ,E 为AD 上一点,求证:∠BED=∠CED .AB CD图4AB CD26.(本小题5分)如图,已知AB∥DE,BF、EF分别平分∠ABC与∠CED,若∠BCE=140°,求∠BFE的度数.26.(本题7分)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点E是CD的中点,BE的延长线与AD的延长线交于点F.(1)△BCE和△FDE全等吗?为什么?(2)连结BD,CF,则△BDE和△FCE全等吗?为什么?(3)BD与CF有何关系?说明理由.28.(本题8分)如图,已知∠AOB=120°,OM平分∠AO B,将正三角形的一个顶点P放在射线OM上,两边分别与DA、OB交于点C、D.(1)如图①若边PC和DA垂直,那么线段PC和PD相等吗?为什么?(2)如图②将正三角形绕P点转过一角度,设两边与OA、OB分别交于C′,D′,那么线段P C′和PD′相等吗?为什么?27.(本题8分)如图,已知正方形ABCD的边长为10厘米,点E在边AB上,且AE=4厘米,如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CD 上由C点向D点运动.设运动时间为t秒。