第一讲 三角形认识与三线（讲义）1.三角形相关概念 基本概念： 三角形表示：例1、如图，试回答下列问题：（1）图中有______个三角形，它们分别是； (2）以线段AD 为公共边的三角形是；（3）CE 边所对的角是________________________．(4)△ABC 、△ACD 、△ADE 这三个三角形的面积之比等于___∶____∶____．2.三边关系 三边关系：符号表示：例2、（1）在△ABC 中，AB=16，AC=7，BC=x.(1)x 的取值范围为__________， (2)化简424x x ---(1)已知a,b,c 是三角形的三边长，化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|对应练习：1、已知等腰三角形的一边等于8cm ，一边等于6cm ，求它的周长．2、三角形两边长为7和10，求最长边x 的范围．3、下列各组线段能组成一个三角形的是( )． (A)3cm ，3cm ，6cm (B)2cm ，3cm ，6cm (C)5cm ，8cm ，12cm (D)4cm ，7cm ，11cm4、现有两根木条，它们的长分别为50cm ，35cm ，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取( )． (A)0.85m 长的木条 (B)0.15m 长的木条 (C)1m 长的木条 (D)0.5m 长的木条 3、与三角形有关的角 (1)三角形的内角:。
(2)三角形的内角和为。
(3)三角形的外角：由三角形一边的延长线和另一条临边所组成的角，叫做三角形的外角。
∵∠ACD 是△ABC 的外角，∴∠ACD 与∠ACB 互为______， 即∠ACD ＝180°－∠ACB ．① 又∵∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝______， ∴∠A ＋∠B ＝______．②由①、②，得∠ACD ＝______＋______． ∴∠ACD ＞∠A ，∠ACD ＞∠B 例3、（1）如图，在纸片=50ABC A ∆∠︒中，，沿DE 折叠纸片，点A 落在四边形BCED内部，则''CEA BDA ∠+∠=（2）已知：如图，BE 与CF 相交于A 点，试确定∠B ＋∠C 与∠E ＋∠F 之间的大小关系，并说明你的理由．（3）已知：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6=___________．DCBA对应练习:1、已知：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8=______．2、如图，在图中，猜想：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝______度．4、三角形的中线 中线概念：中线性质： 例4、（1）如图，BM 是△ABC 的一条中线，AB=5cm ，BC=3cm ， 求：（1）△ABM 与△BCM 的周长之差； （2）ABM S ∆∶CBM S ∆（2）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.5、三角形的角平分线 平分线概念：平分线性质：例5、已知：如图，O 是△ABC 的内角∠ABC 和外角∠ACE 的平分线的交点． (1)若∠A ＝46°，求∠BOC ；(2)若∠A ＝n °，用n 的代数式表示∠BOC 的度数．ACM例6、如图甲，在△ABC中，OC，BO分别是,∠=ACB ABC∠∠的平分线，且Aα用含α的代数式表示∠BOC。
六、三角形的高线高线概念：高线性质：例6、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的高，AB=13，BC=12，AC=5. 求：（1）△ABC的面积（2）CD的长（3）作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积例7、已知：如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线．(1)若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数．(2)试问∠DAE与∠C－∠B有怎样的数量关系?说明理由．(3)若在线段AE上又一点F作FH垂直与BC垂足为H,问∠EFH与∠C－∠B的数量关系?说明理由．第二讲三角形全等探究（讲义）一、全等三角形的概念和性质1.____的两个图形叫做全等形.2.全等三角形的记法.3.全等三角形的对应边_____，对应角_____，这是全等三角形的重要性质．4.如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，∠DEF的对应角是_____．例1、（1）如图所示，ΔABC≌ΔDCB．（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____（2）如果AC＝DB，请指出其他的对应边_____；（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，请指出所有的对应边_____，对应角_____．（2）已知：如图，△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．（1）求∠F的度数与DH的长；（2）求证：AB∥DE．例2、如图1－6，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°二、全等三角形的证明(边边边)概念解释：数学符号：例3、如图，CE ＝DE ，EA ＝EB ，CA ＝DB ， 求证：△ABC ≌△BAD ． 证明：∵CE ＝DE ，EA ＝EB ，∴______＋______＝______＋______， 即______＝______． 在△ABC 和△BAD 中， ＝______（已知），⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______已证已知∴△ABC ≌△BAD （ ）．例4、如图ΔABE ≌ΔACD.且AB=AC. 求证: (1)∠BAD=∠CAE (2)BD=CE三、全等三角形的证明(边角边) 概念解释： 数学符号：例5、已知：如图，AB ∥CD ，AB ＝CD ．求证：AD ∥BC ． 分析：要证AD ∥BC ，只要证∠______＝∠______， 又需证______≌______． 证明：∵ AB ∥CD （ ），∴ ∠______＝∠______ （ ）， 在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______ ∴ Δ______≌Δ______ （ ）． ∴ ∠______＝∠______ （ ）．∴ ______∥______（ ）．ABCDE例6、（1）已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE ，求证： △ABD ≌△ACE（2）△ABC 和△ECD 都是等边三角形，且点B ，C ，D 在一条直线上求证：BE=AD三、全等三角形的证明(角边角、角角边) 概念解释： 数学符号：例7、已知：如图4－1，PM ＝PN ，∠M ＝∠N ．求证：AM ＝BN ． 分析：∵PM ＝PN ，∴ 要证AM ＝BN ，只要证PA ＝______， 只要证______≌______．证明：在△______与△______中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),______(______),______(______),______(______∴ △______≌△______ （ ）． ∴PA ＝______ （ ）．∵PM ＝PN （ ）， ∴PM －______＝PN －______，即AM ＝______．对应练习：1、已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝D C ，AB ＝DE ，BC ＝EF ， 求证：△ABC ≌△DEF ．D CABEBCEF ABA2、已知：如图，AE ∥BF ，AB=CD ，AE=BF .求证： △AEC ≌△BFD3、已知：如图4－6，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ． 求证：HN ＝PM .第三讲全等三角形模型（讲义）模型一：如图1，求证：∠CDB=∠A+∠B +∠C.如图2，∠ACD 的平分线与∠ABD 的平分线交于点E.试问∠A ．∠CEB 和∠CDB 有何数量关系？为什么？模型二：如图所示，在△ABC 中，BD ，CD 是内角平分线，BP ，•CP•是∠ABC ，•∠ACB 的外角平分线．分别交于D ，P ． （1）若∠A=30°，求∠BDC ，∠BPC ．（2）不论∠A 为多少时，探索∠D+∠P 的值是变化还是不变化？为什么？AD C BA模型三：已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 模型四：如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC∠，求证：0180=∠+∠CA模型五：如图(1)，△ABC中，BC＝AC，△CDE中，CE＝CD，现把两个三角形的C点重合，且使∠BCA＝∠ECD，连接BE，AD．求证：BE＝AD．若将△DEC绕点C旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗?为什么?模型六：如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E 。
(1)试说明: BD=DE+CE.(2) 图(2)位置时(BD<CE), 其余条件不变, BD与DE、CE的关系。
(3) 图(3)位置时，其余条件不变, BD与DE、CE的关系。
模型应用：练习1、△ABC 中，AB=AC=4，P 为BC 上任意一点，PD ⊥AB 于D ， PE ⊥AC 于E ，6S ABC =∆，求：PD+PE 的值练习2、如图：E 在线段CD 上，EA 、EB 分别平分∠DAB 和∠CBA, ∠AEB=90°,设AD ＝x , BC ＝y ，且满足2268250x y x y +--+=； （1）求AD 和BC 的长；（2）你认为AD 和BC 还有什么关系？并验证你的结论；（3）你能求出AB 的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.ACBD E。