二 量子力学中波函数的基本特征
1.波函数必须是复数波函数形式 2.波函数的统计解释 例：分析光的双缝衍射实验，并说明玻恩统计解释
的基本观点 A.当光的强度很强时，干涉条纹应该理解为大量等能
量光子在屏幕上出现位置的统计结果
B.当光的强度很弱时(弱到光子一个一个地通过双
缝)，干涉条纹应理解为单个光子通过双缝后在屏
v3=5107m/s的德布罗意波长
解：
1

h m1v1

6.63 1034 1 1015 102

6.63 1017 m
2

h m2v2

6.63 1034 1 103 101

6.63 1030 m
1

h m3v3

6.63 1034 9.11 1031 5 107
U

p2 2m

U
同时考虑到非相对论自由粒子
E

Ek

p2 2m

p2

2mE k

2mE
于是
h2 d 2 ih
2m dx2
t
2.非相对论的薛定谔方程的一般形式及讨论
对于一般的在势能场中的粒子，其薛定谔方程只需要
将上述步骤中的能量由自由粒子的动能推广为粒子的
总能量，就可得到一般粒子的薛定谔方程
p1 c
E2
m02c4

1 c
E2 k

2m0c2
Ek
h
ch
p
E2 k

2m0c 2 Ek
当 v c 时
ch
2m0 Ek
(3).量子体系与经典体系的界限
作用量：称与mrv有相同量纲的物理量为系统作用量
由量子条件 2mrv nh
当微观粒子的作用量与h可相比拟时，微观粒子有
D.几率密度
( x, y, z,t) dW ( x, y, z,t) ( x, y, z,t) 2
dxdydz
3.量子力学中波函数应该满足标准条件 波函数的标准条件是：单值、连续、有限 4.量子力学中波函数应当满足态叠加原理 态叠加原理：(1).如果1、2分别是粒子存在的一个 可能状态，那么，它们的线性叠加1＋2——也是 粒子的一个可能状态；(2).当粒子处于1和2的线性 叠加态时，微观粒子同时处于1和2态
某点出现的几率 (2).几率波的数学表述
dW ( x, y, z,t) *dxdydz ( x, y, z,t) 2 dxdydz dW ( x, y, z,t) C ( x, y, z,t) 2 dV
说明：A. 给波函数乘上一个常数后，并不影响波函 数代表离子在空间出现几率相对强弱的分布
求：(1).氢原子中电子的作用量；(2).测量电子速度时 的不确定度
解：(1).作用量
p q 9.1 1031 106 1010 9.1 1034 ~ h
(2).由
px
x

可得 2
vx

2mex

0.6 106 m

s 1
说明：作用量与h相当的量子系统，不确定关系将 起很重要作用，此时，不能再用经典理论讨论物理 系统的运动规律 例：显象管中电子运动速度为107m/s数量级，电子束
x

可得 2
px 5.28 1029 kg m s1 vx 5.28 1026 m s1 说明：对作用量远大于h的经典物理系统，广义动量
与广义坐标是可以被同时精确测定
例：原子中电子的质量me=9.110-31kg，氢原子的半径 为10-10m数量级
将上式代入能量表达式
E

Ek

Ep

2 2m0r 2

e2
4 0r
求极值
dE dr

0
2
m0r 3

e2
4 0r 2

0
rmin

0.529 1010 m
Emin

2 2m0
(
e 2m0
4

0
2
)2

e2
4 0
e
m 2 0
4

0
2

e4m0
8
2 0
h2

13.6eV
例：利用不确定关系估算谱线的自然宽度，取t~10-8s
解：能级宽度：原子中电子的能级有一个宽度
电子寿命：电子在每一个能级上停留的时间宽度
谱线的自然宽度：电子在能级间跃迁时的频率宽度
E E
t
h


h
t




~
1
2t
1.59 107 Hz
(2).物质波数学定义式中能量的含义 •物质微粒的能量是指其总能量，而不是粒子的动能 •只有粒子低速运动情况下，可以用粒子动能近似代替
粒子总能量 例：设电子的总能量可写为 E Ek m0c2 推算：物质波波长计算公式；并得到粒子低速运动情
况下的近似计算公式
解：由狭义相对论 E 2 c2 p2 m02c4
p 2eme U
U
对镍单晶，d=0.91 Å
实验时，=65，U=54V
理论波长：1.67Å
实验波长：1.65Å
§17.2. 不确定关系
一 不确定关系与波粒二象性的关系
•描述粒子运动的理论都离不开位移、速度、加速度、 动量、角动量等这几个物理量，要全部抛开这些物
理量建立新理论是困难的
•描述粒子波动形时，继续采
幕上出现在某一点的几率。
C.在机械波中，振幅的平方代表波动的强度，因此，
量子力学中的波函数模之平方应当代表光子出现在
屏幕上某点的几率
D.如果双缝衍射的不是
光子，而是其它量子
S
S1
微观粒子，上述分析S2 Nhomakorabea也成立
(1).波恩的统计解释 量子力学中波函数不代表任何实在形式的物质波； 有物理意义只是波函数的模之平方代表粒子在空间
明显的波动现象。该系统称为量子系统
反之，称为经典系统
例：对氢原子，由上一章讨论可知，其作用量为h的 整数倍，具有与h相比拟的作用量，因而氢原子中的 电子能显示出明显的波动特性或量子特性
例：分别计算微尘：m1=10-15kg，v1=10-2m/s；小球：
m2=10-3kg，v2=10-1m/s；电子： m3=9.1110-31kg，
4.通过氢原子的量子理论，对原子中电子存在状况有 一个清晰认识。
§17.1. 微观粒子的波粒二象性 预备知识 1.物理对象具备波动性或粒子性的判据 2.光本质的发展简史 •牛顿的——光的“微粒学说” •惠更斯——“光的微粒学说” 一 德布罗意物质波观念
目标：物质微粒的粒子特性(能量、动量)与波动特性 (波长、频率)用数学函数联系起来 1.德布罗意物质波观念的内涵
用上述物理量，但这些物理
t+t
量不再具有经典物理中的轨
道物理含义
t
二 不确定关系的内涵
1.不确定关系的特例说明
忽略次极大时，电子在x方向动量范围
0 px p sin1 电子在x方向动量不确定度 px psin1
考虑次极大时，电
子在x方向动量不
p
x
px
确定度
x
1
px p sin1

ih

h2
d 2
(
d 2
d 2 ) U (r )
t 2m dx2 dy2 dz2
引入符号
2

2 x 2

2 y 2

2 z 2
Hˆ


h2 2m

2
U
则薛定谔方程可以写为

ih

Hˆ
t
这便是一般形式下的薛定谔方程
讨论 (1).薛定谔方程反映量子微观粒子体系的运动规律 (2). 如果量子微观粒子体系的势函数不含时间变量t，
三 不确定关系的应用举例
1.不确定关系适用的条件
例：设小球质量m=10-3kg，速度v=0.1m/s，位置的不 确定度为x=10-6m
求：(1).小球的作用量；(2).小球动量、速度不确定度
解：(1).作用量 p q 103 101 106 1010 h
(2).由
px
对应的薛定谔方程可以写为定态薛定谔方程
1.46 109 m

0.146
二 德布罗意波的实验验证
1.戴维逊－革末实验
阴极电压
实验现象：集电器电流强度随电压单调增加而作周
期性变化，且呈现的周期变化满足布拉格公式
2d sin n
理论分析 eU 1 mv2 p mv 2meU 2
h h 1 12.2
)


ei
0
h(
Et
px )
对时间求一次导数
t
( x, t )

(
i h
E ) 0ei
h( Et px )


i h
E
对空间求二次导数
2 x 2

(
x
,
t
)

(
1 h2
p2 ) 0ei
h( Et px )


1 h2
p2
再由非相对论动量、能量关系式
E

Ek

A.借助爱因斯坦光量子理论，得到能量与频率的普
遍关系函数 E mc 2 h
B.得到动量与波长的关系