F 做的功．“面积”有正负，在x 轴上方的“面积”为正，在x 轴下方的“面积”为负．如图甲、乙所示，这与运动学中由v - t 图象求位移的原理相同．
【典例2】 用质量为5 kg 的均匀铁索，
从10 m 深的井中吊起一质量为20 kg 的物体，此过程中人
的拉力随物体上升的高度变化如图所示，在这个过程中人至少要做多少功？(g 取10 m/s 2)
【解析】 方法一 提升物体过程中拉力对位移的平均值：
F －＝250＋2002
N ＝225 N 故该过程中拉力做功：W ＝F －h ＝2 250 J.
方法二 由F - h 图线与位移轴所围面积的物理意义，得拉
力做功：W ＝250＋2002
×10 J ＝2 250 J. 【答案】 2 250 J
法3.用微元法求变力做功
圆周运动中，若质点所受力F 的方向始终与速度的方向相同，要求F 做的功，可将圆周分成许多极短的小圆弧，每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，力F 对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，这样变力(方向时刻变化)做功的问题就转化为多段上的恒力做功的问题了．
【典例3】如图所示，质量为m的质点在力F的作用下，沿水平面上半径为R的光滑圆槽运动一周．若F的大小不变，方向始终与圆槽相切(与速度的方向相同)，求力F对质点做的功．【解析】质点在运动的过程中，F的方向始终与速度的方向相同，若将圆周分成许多极短的小圆弧Δl1、Δl2、Δl3、…、Δl
n，则每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，所以质点运动一周，力F对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，即W ＝W1＋W2＋…＋W n＝F(Δl1＋Δl2＋…＋Δl n)＝2πRF.
【答案】2πRF.
变式训练1如图所示，放在水平地面上的木块与一劲度系数k＝200 N/m的轻质弹簧相连，现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1＝0.2 m，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x2＝0.4 m，求上述过程中拉力所做的功．
解析：木块刚要滑动时，拉力的大小F＝kx1＝200×0.2 N＝
40 N，从开始到木块刚要滑动的过程，拉力做的功W1＝0＋F 2x1
＝40
2×0.2 J＝4 J；木块缓慢移动的过程，拉力做的功W2＝Fx2＝40×0.4 J＝16 J．故拉力所做的总功W＝W1＋W2＝20 J.
答案：20 J
变式训练2
如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m 的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB
如图所示，水平传送带正以v ＝2 m/s 的速度运行，两端水
平距离l ＝8 m ，把一质量m ＝2 kg 的物块轻轻放到传送带的A 端，物块在传
送带的带动下向右运动．若物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，不计物块的大小，g 取10 m/s 2，则把这个物块从A 端传送到B 端的过程中．求：
(1)摩擦力对物块做的功．
(2)摩擦力对传送带做的功．
【解析】 (1)物块刚放到传送带上时，由于与传送带有相对运动，物块受向右的滑动摩擦力，物块做加速运动，摩擦力对物块做功．物块受向右的摩擦力为
F f ＝μmg ＝0.1×2×10 N ＝2 N
加速度为a ＝F f m ＝μg ＝0.1×10 m/s 2＝1 m/s 2
当物块与传送带相对静止时的位移为x ＝v 22a ＝222×1
m ＝2 m 摩擦力对物块做功为W ＝F f x ＝2×2 J ＝4 J.
(2)把这个物块从A 端传送到B 端的过程中，摩擦力对传送
带做功为：W ′＝－μmgx ′＝－μmg ·v ·v a ＝－8 J.
【答案】 (1)4 J (2)－8 J
变式训练3 以初速度v 0竖直向上抛出质量为m 的小球，上升的最大高度是h ，如果空气阻力f 的大小恒定，从抛出到落回出发点的整个过程中，空气阻力对小球做的功为( )
A ．0
B ．－fh
C ．－2mgh
D ．－2fh
解析：阻力做功跟物体的运动轨迹有关，所以阻力做功为W f ＝－2fh .
答案：D。