机器人速度雅可比J是一个6×6矩阵，q和V分别是6×1列 当阵l。1l2s手2=部O速时度，矢J-1量无V解是。由当3l×1≠1O线，速l2≠度O矢，量即和θ23=×O或1角θ2速=1度80矢0 时量，组二合自而由成度的机6维器列人矢逆量速。度关雅节可速比度J-1矢奇量异q。是这由时6个，关该节机速器 人度二组臂合完而全成伸的直6维，列或矢完量全。折回，机器人处于奇异形位。在 这雅种可奇比异矩形阵位J的下前，三手行部代正表好手处部在线工速作度域与的关边节界速上度，的手传部递只 能比沿；着后一三个行方代向表(手即部与角臂速垂度直与的关方节向速)运度动的，传不递能比沿。其而他雅方可 向比运矩动阵，J的退每化一了列一则个代自表由相度应。关节速度qt对手部线速度和角 速度的传递比。
之间的关系，是机器人操作臂力控制的基础。
一、工业机器人力雅可比
假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，则广义关 节力矩T与机器人手部端点力F的关系可用下式描述：
JTF
式中：J T为n×6阶机器人力雅可比矩阵或力雅可比，
并且是机器人速度雅可比J的转置矩阵。
二、机器人静力计算的两类问题
从操作臂手部端点力F与广义关节力矩τ之间的关系 式T=JTF，可知，操作臂静力计算可--分为两类问题：
3.2 工业机器人速度雅可比与 静力计算
本机节器讨人论作操业作时臂与在外静止界状环态境下的力接的触平会衡在关机系器。人我们与假环定境 之 各关间节引“起锁相住互”的，作机用器力人和成力为一矩个。机机构器。人这各种关“节锁的定驱用动” 装 的力关取置节得提力静供矩力关与平节手衡力部。矩所求(支解或持这力的种)，载“通荷锁过或定连受用杆到”传外的界关递环节到境力末作矩端用，操的或作 器 求解，在克已服知外驱界动作力用矩力作和用力下矩手部。的各输关出节力的就驱是动对力机矩器(人或 力 操作)与臂末的端静操力作计算器。施加的力(广义力，包括力和力矩)
二自由度机械手速度雅可比为：
Jl1lc11s1l2lc2s1122
l2s12 l2c12
且vx=1m/s, vy=0 因此：
在该瞬时，两关节的位置和速度分别为θ1=300，θ2=600， θ1 =-2rad/s， θ2 =4 rad/s，手部瞬时速度为1m/s
对于在三维空间中作业的一般六自由度工业机器人的情况，
(1)已知机器人手部端点力F或外界环境对机器人 手部作用力F′(F=-F′)，求相应的满足静力平衡条件 的关节驱动力矩。
(2)已知关节驱动力矩T，确定机器人手部对外界 环境的作用力F或负荷的质量。
这类问题是第一类问题的逆解：
一个二自由度平面关节机械手， 已知手部端点力F=[Fx，Fy]T.
求相应于端点力F的关 节力矩(不考虑摩擦)
第三章 工业机器人静力 计算及动力学分析
力、速度、加速度。
3.1 工业机器人速度雅可比与 速度分析
一、工业机器人速度雅可比
数学上雅可比矩阵(Jacobian Matrix)是一个多元函 数的偏导矩阵。
假设有六个函数，每个函数有六个变量，即
将其微分，得 雅可比矩阵
二自由度平面关节机器人。 端点位置x、y与关节θ1、θ2的关系为：
J称为2R机器人速度雅可比， 它反映了关节空间微小运动d θ与手部作业空间微小位移dX 的关系。
Jl1lc11s1l2lc2s1122
l2s12 l2c12
对于n自由度机器人的情况，关节变量可用广义关节变 量q表示，q=[q1 q2 … qn]T。
当关节为转动关节时，qi=θi,当关节为移动关节时， qi=di， dq=[dq1 dq2 … dqn]T反映了关节空间的微小运动。
机器人末端在操作空间的位置和方位可用末端手爪的 位姿X表示，它是关节变量的函数，X=X(q),它是T。
dX=[dx dy dz dφx dφx dφx ]T反映了操作空间的微小运 动，它又机器人末端微小线位移(dx dy dz)和微小转动 (dφx dφx dφx)组成。
解 已知该机械手的速度雅可比为： 则该机械手的力雅可比为：
已知二自由度机械手的雅可比矩阵为
Jl1lc1s11l2l2cs1122
l2s12
l2c12
若忽略重力，当手部端点力F =[1 0]T时， 求相应的关节力矩τ。
3.3 工业机器人动力学分析
工在业控机制器方人面，机器人的重动载态实、时高控速制、是高机精器度人、发智展能的化必然
反之，假如给定机器人手部速度，可解出相应的关节速度。
式中J-1叫称为机器人逆速度雅可比。
我(1们)工希作望域工边业界机上器奇人异手。部当在机空器间人按臂规全定部的伸速展度开进或行全作部业折，回 那当而么机使可器手以人部计处处算在于出奇机沿异器路形人径位工上时作每，域一就的瞬会边时产界相生上退应或化的边现关界象节附，速近丧度时失。，一但出个是现， 一或逆般更雅来多可说的比，自奇求由异逆度，速。这度这时雅意机可味器比着人J在相-1是空应比间的较某形困个位难方叫的向做，(奇或有异子时形域还位)上会。，出 现不(2奇管)工异机作解器域，人内就关部无节奇法速异解度。算怎奇关样异节选并速择不度，一。手定部发也生不在可工能作实域现边移界动上。， 也可以是由两个或更多个关节轴线重合所引起的。
要求。需要对机器人的动力学进行分析。机器人是一个非线
性的复杂的动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且
需要较长的运算时间。因此对，工简业化机解器的人过设程计，和最大控限制度都地提减
少工业机器人动力学在线计算的时间，已是一个受到关注的
研究课题。
出了新的要求
动力学研究物体的运动和作用力之间的关系。机器 人动力学问题有两类。
dXJ(q)dq
二、工业机器人速度分析
式中：V 为机器人末端在操作空间中的广义速度，V=X；q 为机器人关节在关节空间中的关节速度；J(q)为确定关节空 间速度q与操作空间速度V之间关系的雅可比矩阵。
二自由度机器人手部速度为：
假如已知关节上θ1和θ2是时间的函数，θ1 =f1(t), θ2 =f2(t)， 则可求出该机器人手部在某一时刻的速度V=f(t),即手部瞬 时速度。