数学分析第十三章函数列与函数项级数
一致收敛函数列的性质1
第八讲
数学分析第十三章函数列与函数项级数
一致收敛函数列的性质
定理13.8（极限交换定理）
{}n f 设函数列在上一致收敛于,00(,)(,)a x x b ⋃()f x 且
对每个n , 0
lim ()n n x x f x a →=，→∞
lim n n a 则和→0
lim ()x x f x 均存在且
相等：00
lim lim ()lim lim ().
n n x x n n x x f x f x →→∞
→∞→=即
{}n a 证先证是收敛数列. 故存在正整数N , 当n >N 及对任意正整数p , 对一切00(,)(,)，x a x x b ∈⋃有|()()|.(1)
n n p f x f x ε+-<0ε>，{}n f 由于一致收敛,
对任意0
lim ()lim ,
n x x n f x a →→∞=
数学分析第十三章函数列与函数项级数
定理指出: 在一致收敛的条件下, {()}n f x 中关于独立变量x 与n 的极限可以交换次序, 即
,()(,)n f x a b 类似地若在lim ()
n x a
f x +→上一致收敛, 且存在, ++→∞→∞
→→=lim lim ()lim lim ();n n n n x a
x a
f x f x ()(,)lim (),
n n x b
f x a b f x -→若在上一致收敛,且存在--
→∞
→∞→→=lim lim ()lim lim ().n n n n x b
x b
f x f x 则有则有00
lim lim ()lim lim ().
(2)
n n x x n n x x f x f x →→∞
→∞→=
数学分析第十三章函数列与函数项级数
定理13.9（连续性）
若函数列{}n f 在区间I 上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数f 在I 上也连续.
证0.x I 设为上任一点于是由定理13.8 知0
lim ()x x f x →也存在, 且
0lim ()lim lim ()n x x x x n f x f x →→→∞
=0().
f x x 因此在上连续0
0lim ()(),n n x x
f x f x →=由于0
lim lim ()
n n x x f x →∞→=0lim ()
n n f x →∞
=0(),
f x =
数学分析第十三章
函数列与函数项级数
{}n
x (1,1]-例如函数列的各项在上都是连续的,其极限函数
0,11,()1,1
x f x x -<<⎧=⎨
=⎩1x =在时不连续，
{}n
x (1,1]-所以在上不一致收敛.注定理13.9可以逆过来用:但列在区间I 上其极限函数不连续, 若各项为连续函数的函数I 上一定不一致收敛.
则此函数列在区间推论
{}n f I f 若连续函数列在区间上内闭一致收敛于，f I 则在上连续.。